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komplexe Zahl

Menge

Die Menge der komplexen Zahlen $ \IC $ ist ganz abstrakt die Menge aller Paare von reellen Zahlen:

$ \IC:=\IR^2 $

Zum Beispiel könnte das Zahlenpaar $ (2,3) $ als eine komplexe Zahl aufgefasst werden.

Sehr verbreitet für die Schreibweise einer komplexen Zahl $ (x,y) $ ist auch die kartesische oder algebraische Darstellung

$ (x,y)\ =\ x+iy\ =\ x+yi $

oder als Mengenbeschreibung

$ \IC:=\left\{z|\ z=x+iy,\quad x,y\in\IR\ \wedge\ i^2=-1\right\} $

Zunächst sind dabei die Zeichen $ + $ und $ i $ nur Symbole ohne jede Bedeutung, gewissermaßen "Trennzeichen" zwischen $ x $ und $ y $. Man sollte sie nicht sofort als Rechenzeichen "+" oder als Variable "i" auffassen. Später (bei Behandlung der definierten Verknüpfungen) wird sich aber zeigen, dass sich mit dieser Schreibweise die Verknüpfungsregeln sehr einfach merken lassen.



Verknüpfungen

Es seinen nun $ z_1:=x_1+y_1i $ und $ z_2:=x_2+y_2i $ zwei komplexe Zahlen. In diesem Abschnitt sollen Verknüpfungen wie die Addition $ z=z_1+z_2 $ und Multiplikation $ z=z_1\cdot{}z_2 $ komplexer Zahlen definiert werden.


Addition

In der Addition werden komplexe Zahlen folgendermaßen beschrieben:

$ (x_1,y_1)+(x_2,y_2):=(x_1+x_2\ ,\ y_1+y_2) $

Komplexe Zahlen werden also komponentenweise addiert. In der alternativen Darstellung sieht dies so aus:

$ z_1+z_2\ =\ x_1+y_1i+x_2+y_2i\ :=\ (x_1+x_2)+(y_1+y_2)i $

Multiplikation

Auf den ersten Blick vielleicht nicht ganz so naheliegend ist eine Multiplikation definiert durch

$ (x_1,y_1)\cdot{}(x_2,y_2)\ :=\ (x_1\cdot{}x_2-y_1\cdot{}y_2\ ,\ x_1\cdot{}y_2+x_2\cdot{}y_1) $

Zum Vergleich wieder die kartesische Darstellung:

$ z_1\cdot{}z_2=(x_1+y_1i)\cdot{}(x_2+y_2i)\ :=\ (x_1\cdot{}x_2-y_1\cdot{}y_2)\ +\ (x_1\cdot{}y_2+x_2\cdot{}y_1)i $

Diese Definition ist leicht zu merken, wenn man sich "naiv" nur merkt, dass $ i\cdot{}i=-1 $, denn dann sieht das Ergebnis der Multiplikation so aus, als wäre es durch formales ausmultiplizieren entstanden:


$ \begin{array}{rcl} (x_1+y_1i)\cdot{}(x_2+y_2i) & = & x_1\cdot{}x_2\ +\ x_1\cdot{}i\cdot{}y_2\ +\ i\cdot{}y_1\cdot{}x_2\ +\ i\cdot{}y_1\cdot{}i\cdot{}y_2 \\ & = & x_1\cdot{}x_2\ +\ i\cdot{}x_1\cdot{}y_2\ +\ i\cdot{}y_1\cdot{}x_2\ +\ i\cdot{}i\cdot{}y_1\cdot{}y_2 \\ & = & x_1\cdot{}x_2\ +\ i\cdot{}(x_1\cdot{}y_2\ +\ y_1\cdot{}x_2)\ +\ (-1)\cdot{}y_1\cdot{}y_2 \\ & = & (x_1\cdot{}x_2 - y_1\cdot{}y_2)\ +\ (x_1\cdot{}y_2 + x_2\cdot{}y_1)i \end{array} $

In dieser Vereinfachung des "Merkaufwands" liegt der Nutzen und die Bedeutung der kartesischen Schreibweise, die in diesem Artikel fortan verwendet wird.

Man kann leicht zeigen, dass beide Verknüpfungen assoziativ und kommutativ sind:

  • $ z_1+(z_2+z_3)=(z_1+z_2)+z_3 $ (Assoziativität der Addition)

  • $ z_1\cdot{}(z_2\cdot{}z_3)=(z_1\cdot{}z_2)\cdot{}z_3 $ (Assoziativität der Multiplikation)

  • $ z_1+z_2=z_2+z_1 $ (Kommutativität der Addition)

  • $ z_1\cdot{}z_2=z_2\cdot{}z_1 $ (Kommutativität der Multiplikation)

Außerdem gilt das Distributivgesetz:

  • $ z_1\cdot{}(z_2+z_3)=z_1\cdot{}z_2+z_1\cdot{}z_3 $

Beispiele für die Verknüpfungen


  • $ (3+4i)\ +\ (-2+8i)\ =\ \ 3-2+4i+8i\ =\ 1+12i $
  • $ (-2+8i)\ +\ (3+4i)\ =\ -2+3+8i+4i\ =\ 1+12i $

  • $ (3+4i)\cdot{}(-2+8i)\ =\ -6+24i-8i-32\ =\ -38+16i $
  • $ (-2+8i)\cdot{}(3+4i)\ =\ -6-8i+24i-32\ =\ -38+16i $


Körper

Zeigt man noch die Existenz der neutralen Elemente für die Addition und Multiplikation und die Existenz inverser Elemente, so gelten alle Körperaxiome.



Motivation für die Einführung der komplexen Zahlen

Die Polynomgleichung $ z^2+1=0 $, die über den reellen Zahlen nicht lösbar ist, hat nun die beiden komplexzahligen Lösungen $ z_{1,2}=\pm i $. Daher lässt sich der Term $ z^2+1 $ nun als Produkt in der "Linearfaktorschreibweise" darstellen: $ z^2+1=(z-i)\cdot{}(z+i) $. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra zerfällt sogar jedes Polynom vom Grad n in n Linearfaktoren.



Weitere Definitionen


  • Komplex-Konjugiertes zu $ z\quad \overline{z}:=x-i\cdot{}y $

  • Realteil zu $ z\quad \operatorname{Re}(z):=x $

  • Imaginärteil zu $ z\quad \operatorname{Im}(z):=y $

  • Betrag von $ z\quad |z|:=\ r\ =\ \sqrt{x^2+y^2} $

  • Argument von $ z\quad \arg(z):=\arctan\frac{y}{x} $


Umrechnung in die trigonometrische Form


$ x>0\quad y\ge 0\ :\quad \varphi\ge 0\quad \Rightarrow\quad \tan(\varphi)=\bruch{y}{x} $

$ x<0\quad y\ge 0\ :\quad \varphi\ge 0\quad \Rightarrow\quad \tan(\varphi-\pi)=\bruch{y}{x} $

$ x<0\quad y<0\ :\quad \varphi<0\quad \Rightarrow\quad \tan(\varphi+\pi)=\bruch{y}{x} $

$ x>0\quad y<0\ :\quad \varphi<0\quad \Rightarrow\quad \tan(\varphi)=\bruch{y}{x} $

Konkrete Beispiele: Argumentbestimmung komplexer Zahlen


Umrechnung von der trigonometrischen Form in die Normalform

Für $ z=x+iy $ berechnet sich der Realteil $ \operatorname{Re}(z)=x $ durch

$ x\ =\ r\cdot{}\cos(\varphi) $

und der Imaginärteil $ \operatorname{Im}(z)=y $ durch

$ y\ =\ r\cdot{}\sin(\varphi) $


Exponentialform einer komplexen Zahl

Mit der Euler'schen Identität $ e^{i\varphi}=\cos(\varphi)+i\cdot{}\sin(\varphi) $ folgt für eine komplexe Zahl $ z=x+i\cdot{}y $


$ z\ =\ r\cdot{}e^{i\cdot{}\varphi}\ =\ r\cdot{}\left[\cos(\varphi)+i\cdot{}\sin(\varphi)\right] $

$ z^n=r^n\cdot{}e^{i\cdot{}n\cdot{}\varphi} $    für    $ z=r\cdot{}e^{i\cdot{}\varphi} $


Rechnen mit der trigonometrischen Form

Es seien $ z,z_1,z_2\in\IC $  mit  $ z=x+i\cdot{}y\quad z_1=x_1+i\cdot{}y_1\quad z_2=x_2+i\cdot{}y_2 $


  • $ z_1\pm z_2=r_1\cdot{}\cos(\varphi_1) \pm r_2\cdot{}\cos(\varphi_2)\ +\ i\cdot{}[r_1\cdot{}\sin(\varphi_1) \pm r_2\cdot{}\sin(\varphi_2)] $

  • $ z_1\cdot{}z_2=r_1\cdot{}r_2\cdot{}[\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\cdot{}\sin(\varphi_1+\varphi_2)] $

  • $ \bruch{z_1}{z_2}=\bruch{r_1}{r_2}\cdot{}[\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\cdot{}\sin(\varphi_1-\varphi_2)] $   mit   $ z_2\not=0 $

  • $ z^n=r^n\cdot{}(\cos(n\cdot{}\varphi)+i\cdot{}\sin(n\cdot{}\varphi)) $    für    $ z=r\cdot{}(\cos(\varphi)+i\cdot{}\sin(\varphi)) $

Zur Berechnung der Potenzen verwendet man i.a.R die Formel von Moivre-Laplace.


Rechenregeln für $ z=\operatorname{Re}(z)+i\cdot{}\operatorname{Im}(z) $


  • $ \operatorname{Re}(z_1)+\operatorname{Re}(z_2)\ =\ \operatorname{Re}(z_1+z_2) $

  • $ \operatorname{Im}(z_1)+\operatorname{Im}(z_2)\ =\ \operatorname{Im}(z_1+z_2) $

  • $ \overline{z_1}+\overline{z_2}\ =\ \overline{z_1+z_2} $    ("Konjugiertenbildung ist verträglich mit der Addition")

  • $ \overline{z_1}\cdot{}\overline{z_2}\ =\ \overline{z_1\cdot{}z_2} $    ("Konjugiertenbildung ist verträglich mit der Multiplikation")

  • $ z=|z|\cdot{}\left(\cos(\arg(z))\ +\ i\cdot{}\sin(\arg(z))\right) $

  • $ z=|z|\cdot{}e^{i\cdot{}\arg(z)} $

  • $ |z|=\sqrt{z\cdot{}\overline{z}} $

  • $ \operatorname{Re}(z)=\frac{z+\overline{z}}{2} $

  • $ \operatorname{Im}(z)=\frac{z-\overline{z}}{2i} $

Weitere Artikel bezüglich komplexer Zahlen



Erstellt: So 03.09.2006 von Frusciante
Letzte Änderung: Mi 21.05.2014 um 14:45 von Herby
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