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Argumentbestimmung komplexer Zahlen

Die Argumentbestimmung komplexer Zahlen der Form $ z=x+y\cdot i $ kann anhand nachfolgend aufgeführten Ansätzen erfolgen:


$ \text{1}.\qquad x>0\quad y>0\ :\quad \varphi>0\quad \Rightarrow\quad \tan(\varphi)=\bruch{y}{x} $

$ \text{2}.\qquad x<0\quad y>0\ :\quad \varphi>0\quad \Rightarrow\quad \tan(\varphi-\pi)=\bruch{y}{x} $

$ \text{3}.\qquad x<0\quad y<0\ :\quad \varphi<0\quad \Rightarrow\quad \tan(\varphi+\pi)=\bruch{y}{x} $

$ \text{4}.\qquad x>0\quad y<0\ :\quad \varphi<0\quad \Rightarrow\quad \tan(\varphi)=\bruch{y}{x} $

Der Hauptwert liegt immer zwischen $ -\pi\le\varphi\le\pi $ bzw. $ 0\le\varphi\le2\pi $



Beispiele



Zu 1.      $ \qquad \blue{x>0\quad y>0\ :\quad \varphi>0\quad \Rightarrow\quad \tan(\varphi)=\bruch{y}{x}} $


$ \mathbf{Mit}\ z=5+8i\ \mathbf{ist}\quad \tan(\varphi)= \frac85\qquad \Rightarrow\qquad \varphi=arctan\left(\frac85\right)\approx1,102 $

$ \mathbf{Mit}\ z=2+3i\ \mathbf{ist}\quad \tan(\varphi)= \frac32\qquad \Rightarrow\qquad \varphi=arctan\left(\frac32\right)\approx0,983 $


Zu 2.      $ \qquad \blue{x<0\quad y>0\ :\quad \varphi>0\quad \Rightarrow\quad \tan(\varphi-\pi)=\bruch{y}{x}} $


$ \mathbf{Mit}\ z=-5+8i\ \mathbf{ist}\quad \tan(\varphi-\pi)= \frac8{-5}\qquad \Rightarrow\qquad \varphi=arctan\left(-\frac85\right)+\pi\approx2,129 $

$ \mathbf{Mit}\ z=-2+3i\ \mathbf{ist}\quad \tan(\varphi-\pi)= \frac3{-2}\qquad \Rightarrow\qquad \varphi=arctan\left(-\frac32\right)+\pi\approx2,158 $


Zu 3.      $ \qquad \blue{x<0\quad y<0\ :\quad \varphi<0\quad \Rightarrow\quad \tan(\varphi+\pi)=\bruch{y}{x}} $


$ \mathbf{Mit}\ z=-5-8i\ \mathbf{ist}\quad \tan(\varphi+\pi)= \frac{-8}{-5}\qquad \Rightarrow\qquad \varphi=arctan\left(\frac85\right)-\pi\approx-2,129 $

$ \mathbf{Mit}\ z=-2-3i\ \mathbf{ist}\quad \tan(\varphi+\pi)= \frac{-3}{-2}\qquad \Rightarrow\qquad \varphi=arctan\left(\frac32\right)-\pi\approx-2,158 $


Zu 4.      $ \qquad \blue{x>0\quad y<0\ :\quad \varphi<0\quad \Rightarrow\quad \tan(\varphi)=\bruch{y}{x}} $


$ \mathbf{Mit}\ z=5-8i\ \mathbf{ist}\quad \tan(\varphi)= \frac{-8}5\qquad \Rightarrow\qquad \varphi=arctan\left(-\frac85\right)\approx-1,102 $

$ \mathbf{Mit}\ z=2-3i\ \mathbf{ist}\quad \tan(\varphi)= \frac{-3}2\qquad \Rightarrow\qquad \varphi=arctan\left(-\frac32\right)\approx-0,983 $




Weitere Anmerkungen

Alle Winkelangaben erfolgten in der Einheit "RAD". Für die Umrechnung des Winkels $ \varphi $ in "DEG" besteht die Beziehung:


$ \frac\varphi{2\pi}=\frac x {360} $

Sollte generell ein positiver Drehwinkel gefordert sein, so ist der Wert $ 2\pi $ bzw. 360° zu den negativen Argumenten zu addieren.


$ z=5-8i\ \gdw\ z\approx\wurzel{89}\cdot{}e^{-1,012}\approx\wurzel{89}\cdot{}e^{-1,012+2\pi}\approx\wurzel{89}\cdot{}e^{5,271} $


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Erstellt: Di 08.12.2009 von Herby
Letzte Änderung: So 25.05.2014 um 13:09 von Herby
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