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Länge

Definition Länge


  • Länge eines Vektors
  • Länge eines Intervalls
  • (Bogen-) Länge einer Funktionskurve
  • Länge einer Kurve (allgemein)
    -=Schule=-

Definition Länge eines Vektors

Unter dem Betrag eines Vektors $ \vec a $ versteht man die Länge der zu $ \vec a $ gehörenden Pfeile.
Der Betrag wird mit $ |\vec a| $ bezeichnet.

Kennt man die Komponenten des Vektors $ \vec a $ in einem kartesischen Koordinatensystem, so kann man seinen Betrag mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnen:


$ \IR^2: \vec a = \begin {pmatrix} a_1\\a_2 \end{pmatrix} \Rightarrow |\vec a| = \wurzel {a_1^{2} + a_2^{2}} $


$ \IR^2: \vec a = \begin {pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \Rightarrow |\vec a| = \wurzel {a_1^{2} + a_2^{2} + a_3^{2}} $


Definition Länge eines Intervalls

Die Länge eines Intervalls $ [a,b] $ berechnet man durch: |b - a| .


Definition (Bogen-) Länge einer Funktionskurve

Sei $ f: [a,b]\to\IR $ eine differenzierbare Funktion, und $ G_f=\{(x,f(x))\ |\ x\in [a,b]\} $ ihr Graph.
Dann heißt
$ L_a^b(f)=\integral_a^b \wurzel{1+f'(t)^2} dt $
die Länge des Graphen von f über dem Intervall $ [a,b] $ .



Universität


Definition Länge einer Kurve

Sei $ f:[a,b]\to V $ eine Kurve in V.
Dann heißt das Supremum über die Längen aller Streckenzüge $ [f(t_0),\ldots,f(t_m)] $, wobei $ t_0,\ldots,t_m $ alle endlichen Folgen $ a\le t_0\le \ldots\le t_m\le b $ durchläuft, die Länge
$ L_a^b(f)=L(f) $
von f.
Ist $ L(f)\le\infty $, so heißt f rektifizierbar.
Quelle: (1)


Wichtige Sätze


Satz Seien V ein normierter endlichdimensionaler $ \IR $-Vektorraum und $ f:I\to V $ eine stückweise stetig differenzierbare Kurve in V.
Dann ist f rektifizierbar, und es gilt
$ L_a^b(f)=\integral_a^b \|f'(t)\| dt $.

Quelle: (1)

Quelle: (1) isbn3411141816

Erstellt: Sa 20.11.2004 von informix
Letzte Änderung: Mo 22.11.2004 um 15:14 von informix
Weitere Autoren: Marc
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