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FunktionentheorieSkript1

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FunktionentheorieSkript1

$\uparrow$ Inhaltsverzeichnis $\rightarrow$ §2 Komplex differenzierbare Funktionen

§1 Komplexe Zahlen und Polynome

$(\IR^2,+)$ ist mit der Vektoraddition "+" eine abelsche Gruppe

Definiert man eine Multiplikation $\cdot{}$ für zwei Elemente $z_1=(x_1,y_1), z_2=(x_2,y_2)\in\IR^2$ als

$z_1\cdot{}z_2:=(x_1\cdot{}x_2-y_1\cdot{}y_2,x_1y_2+y_1\cdot{}x_2)\in\IR^2$

wird $(\IR,+,\cdot{})$ zu einem kommutativer Körper mit Einselement .

Satz 1 Körper $\IC$ der komplexen Zahlen

(i) Die Zuordnung $x\mapsto (x,0)$ ist ein Körperhomomorphismus $\IR\to\IC$
Man identifiziert mit und faßt $\IR$ als Teilkörper von $\IC$ auf.

(ii) Die Zuordnung $z=(x,y)\mapsto (x-y)=:\overline{z}$ ist ein Körperautomorphismus von $\IC$ der Ordnung 2 (d.h. $\overline{\overline{z}}=z, i:=(0,1), \overline{i}=-i\neq i$ )

Es sei $\langle\cdot{},\cdot{}\rangle:\ \IR^2\times\IR^2\to\IR$ das kanonische Skalarprodukt (d.h. $\langle(x_1,y_1),(x_2,y_2)\rangle=x_1\cdot{}x_2+y_1\cdot{}y_2$ ).
Def $|z|:=\wurzel{\langle z,z\rangle}$ heißt Betrag von
Es gilt: $|z|\ge 0$ und $\gdw$

Satz 1' Für alle $z_1,z_2\in\IC$ gilt:
$|z_1\cdot{}z_2|=|z_1|\cdot{}|z_2|$
$|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$ (Dreiecksungleichung)
$\langle z_1,z_2\rangle=\operatorname{Re}(z_1\cdot{}\overline{z_2})$ mit $\operatorname{Re}(x,y):=x$
$\langle z_1\cdot{}z_3,z_2\cdot{}z_3\rangle=|z_3|^2\cdot{}\langle z_1,z_2\rangle$

__Satz 1''C__
(i) Zu $z\in\IC$ , $z\not=0$ , existiert genau ein $\phi\in\IR$ , $0\le\phi<2\pi$ , mit $z=|z|\cdot{}(\cos\phi+i\cdot{}\sin\phi)$

(ii) Es sei $z_j=r_j(\cos\phi_j+i\sin\phi_j)$ , $r_j\in\IR$ , $r_j\ge0$
$\Rightarrow z_1 z_2=r_1 r_2 \left(\cos(\phi_1+\phi_2)+i\sin(\phi_1+\phi_2)\right)$

$\operatorname{Re}(iz)=-\operatorname{Im}z$
$\operatorname{Im}(iz)=\operatorname{Re}z$
$\operatorname{Re}(z^{-1})=\bruch{1}{|z|^2}\cdot{}\operatorname{Re}z$
$\operatorname{Im}(z^{-1})=-\bruch{1}{|z|^2}\cdot{}\operatorname{Im}z$
$z^{-1}=\bruch{\overline{z}}{|z|^2}$

Folgerung (zu Satz 1)C__ Es sei $\lambda\in\IC$ , $\lambda\not=0$ , und $n\in\IN$ , $n\ge 1$ $\Rightarrow$ $\#\left\{a\in\IC\ |\ a^n=\lambda\right\}=n$ --- $\wurzel{i}=\pm\left(\cos\bruch{\pi}{4}+i\sin\bruch{\pi}{4}\right)=\pm\left( \bruch{\wurzel{2}}{2}+\bruch{\wurzel{2}}{2}i\right)$ --- Es sei $f:\ \IC\to\IC$ eine Zuordnung. Def f heißt polynomial, wenn gilt: Es gibt $a_0,\ldots,a_n\in\IC$ mit $f(\lambda)=\summe_{k=0}^{n} a_k\lambda^k$ $\forall \lambda\in\IC$ --- Es gilt: (i) Es sei $\lambda\in\IC$ , polynomiale Abbildungen $\IC\to\IC$ $\Rightarrow$ $\lambda\cdot{}f$ und sind polynomiale Abbildungen. (ii) $\IC[z]$ :=Gesamtheit der komplexen Polynome (=polynomialen Abbildungen) $(\IC[z],+,\cdot{})$ ist $\IC$ -Vektorraum (iii) $\left\{ z^k\ :\ k\in\IN\right\}$ ist $\IC$ -Vektorraumbasis von $\IC[z]$ --- Def Man nennt n den Grad von f (in Zeichen: $\operatorname{grad}(f)$ ) und $a_0,\ldots,a_n$ die Koeffizienten von f. --- Es gilt: (i) Sind $f,g\in\IC[z]$ , so ist $f\cdot{}g\in\IC[z]$ , wobei $(f\cdot{}g)(\lambda):=f(\lambda)\cdot{}g(\lambda)$ $\forall\lambda\in\IC$ . (ii) $(\IC[z],+,\cdot{})$ ist ein kommutativer Ring mit Einslement --- Übg Es sei $\lambda\in\IC$ $\Rightarrow$ $\left\{(z-\lambda)^k\ :\ k\in\IN\right\}$ ist $\IC$ -Vektorraumbasis von $\IC[z]$ --- $f\in\IC[z]$ Def $N(f):=\left\{ \lambda\in\IC\ :\ f(\lambda)=0\right\}$ heißt Nullstellenmenge von f. wird auch Menge der Wurzeln (Lösungen) der algebraischen Gleichung f=0 genannt. --- Übg $f=\produkt_{k=1}^{n} (z-\lambda_k)$ mit $\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\IC$ $\Rightarrow$ $N(f)=\left\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\right\}$ --- Übg $f=z^n-\lambda$ , $\lambda\in\IC$ , $\lambda\not=0$ $\Rightarrow$ $N(f)=\left\{a\in\IC\ :\ a^n=\lambda\right\}=\left\{a_0,\ldots,a_{n-1}\right\}$ (s.o.) (Folg S1) Frage: Ist $z^n-\lambda=\produkt_{k=0}^{n-1} (z-a_k)$ ? --- __Satz 2 Es sei $f\in\IC[z]$ , $f\not=0$ , $n=\operatorname{grad}(f)\ge1$
Dann gilt: Es gibt $c\in\IC$ , $c\not=0$ , und $\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\IC$ mit $f=c\cdot{}\produkt_{k=1}^{n} (z-\lambda_k)$

Weiter gilt:
(i) $N(f)=\right\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\right\}$

(ii) c ist eindeutig bestimmt und $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ sind eindeutig bis auf die Reihenfolge

Minimumprinzip
Ist $\lambda_1\in\IC$ mit $f(\lambda_1)\not=0$ so gilt:
Zu $\varepsilon>0$ existiert $\lambda\in\IC$ mit $|\lambda-\lambda_1|<\varepsilon$ und $|f(\lambda)|<|f(\lambda_1)|$

$0\not=f\in\IC[z]$ , $\lambda\in\IC$ , $r\in\IN$
Def $\operatorname{ord}_{\lambda}(f):=r$ , wenn gilt:
$f\in(z-\lambda)^r\cdot{}\IC[z]$
$f\in(z-\lambda)^{r+1}\cdot{}\IC[z]$
Man nennt $\operatorname{ord}_{\lambda}(f)$ die Nullstellenordnung von f im Punkt $\lambda$ .

Übg Es sei $\lambda\in\IC$ , $\lambda\not=0$ und $f=z^n-\lambda$
Behauptung: Alle Nullstellen von f sind einfach (d.h. $\operatorname{ord}_{a}(f)=1$ $\forall a\in N(f)$ )

Es sei $f=\summe_{k=0}^{n} a_k z^k\in\IC[z]$ und $f'=\summe_{k=1}^{n} k\cdot{}a_k z^{k-1}$
Es sei $\lambda\in\IC$ mit $f(\lambda)=0$
Es gilt: $\operatorname{ord}_{\lambda}(f)\ge 2$ $\gdw$ $f'(\lambda)=0$

Übg $f=z^n-\lambda$ , $\lambda\not=0$ , $f'=nz^{n-1}$
$\Rightarrow$ $f'(a)\not=0$ $\Rightarrow$ $\operatorname{ord}_a f=1$

Bem $f\in\IC[z]$
Man kann zeigen: $\operatorname{Re}(f)$ erfüllt auch das Minimumprinzip wobei $(\operatorname{Re}(f))(\lambda):=\operatorname{Re} f(\lambda)$ $\forall\lambda\in\IC$

Übg , $\operatorname{Re} z^2=x^2-y^2$ : Graph ist eine Sattelfläche

$\widehat{\IC}:=\IC\cup\{\infty\}$ , ( $\infty\not\in\IC$ )

$\mathbf{O}$ = System der offenen Mengen von $\IC$
$\mathbf{O}_{\infty}:=\left\{ U\subseteq\widehat{\IC}\ :\ \infty\in U,\ \widehat{\IC}\setminus U \mbox{ kompakt in }\IC\right\}$

Es gilt: $\widehat{\mathbf{O}}=\mathbf{O}\cup\mathbf{O}_{\infty}$ ist das System der offenen Mengen einer Topologie auf $\widehat{\IC}$
d.h.
(i) $\emptyset,\widehat{\IC}\in\widehat{\mathbf{O}}$
(ii) $U_1,U_2\in\widehat{\mathbf{O}}\ \Rightarrow\ U_1\cap U_2\in\widehat{\mathbf{O}}$
(iii) $U\in\widehat{\mathbf{O}},\ i\in I\ \Rightarrow\ \bigcup_{i\in I} U_i\in \widehat{\mathbf{O}}$

Übg sei eine reelle Gerade in $\IC$
Die abgeschlossene Hülle $\overline{L}$ von in $\widehat{\IC}$ ist $L\cup\{\infty\}$

Übg Es sei $z^{-1}:\widehat{\IC}\to\widehat{\IC}$ gegeben durch
$(z^{-1})(\lambda):=\begin{cases}\infty & \lambda=0 \\ 0 & \lambda=\infty \\ \lambda^{-1} & \mbox{sonst} \end{cases}$
$L=\left\{1+it\ :\ t\in\IR\}$
Beh $(z^{-1})(\overline{L})=\left\{\lambda\in\IC\ :\ \left|\lambda-\bruch{1}{2}\right|=\bruch{1}{2}\right\}$

$z^{-1}(wL)=w^{-1}\cdot{}z^{-1}(L)$

$K_r=\left\{\lambda\in\IC\ :\ |\lambda-1|=r \right\}$ (r>0)
Beh $r\not=1\ \Rightarrow\ (z^{-1})(K_r)=$ Kreislinie mit Mittelpunkt $\bruch{1}{2}\left(\bruch{1}{1-r}+\bruch{1}{1+r}\right)=\bruch{1}{1-r^2}$
und Radius $\bruch{1}{2}\left|\bruch{1}{1-r}-\bruch{1}{1+r}\right|=\bruch{r}{|1-r^2|}$

Übg $f:\ \IC\to\widehat{\IC}$ sei stetig, f besitze stetige Fortsetzung $\hat{f}\ :\ \widehat{\IC}\to\widehat{\IC}$
$\gdw$ Ist $(a_n)_{n\ge0}, a_n\in\IC$ mit $\lim |a_n|=\infty$ , so gilt: $\limes_{n\to\infty} f(a_n)$ existiert in $\widehat{\IC}$ ( $\hat{f}(\infty):=\limes_{n\to\infty}f(a_n)$ )

Übg $\psi\ : \IC\to\widehat{\IC}, \lambda\mapsto\operatorname{Re}(\lambda)$ hat keine stetige Fortsetzung auf $\widehat{\IC}$ .

$z^{-1}\ :\ \widehat{\IC}\to\widehat{\IC}$
Satz 3: sei Kreislinie in $\IC$ , sei Gerade in $\IC$ , $\overline{L}=L\cup\{\infty\}$
Dann gilt:
(i) Ist $0\not\in K$ , so ist $z^{-1}(K)$ eine Kreislinie
(ii) Ist $0\in K$ , so ist $z^{-1}(K)$ eine Gerade $\cup\{\infty\}$
(iii) Ist $0\in L$ , so ist $z^{-1}(\overline{L})$ eine Gerade $\cup\{\infty\}$
(iv) Ist $0\not\in L$ , so ist $z^{-1}(\overline{L})$ eine Kreislinie in $\IC$ durch 0.

Übg
$D_1=\left\{\lambda\in\IC\ :\ \operatorname{Re}\lambda\ge-1\right\}\cup\{\infty\}$
$z^{-1}(D_1)=\left\{\lambda\in\IC\ :\ \left|\lambda+\bruch{1}{2}\right|\ge\bruch{1}{2}\right\}\cup\{\infty\}$

$D_2=\left\{\lambda\in\IC\ :\ \operatorname{Im}\lambda\ge-1\right\}$
$z^{-1}(D_2)=$ TODO ???

$D_3=\left\{\lambda\in\IC\ :\ \operatorname{Re}\lambda+\operatorname{Im}\lambda\le0\right\}\cup\{\infty\}$
$z^{-1}(D_3)=\left\{\lambda\in\IC\ :\ \operatorname{Re}\lambda-\operatorname{Im}\lambda\le0\right\}\cup\{\infty\}$

$\Delta=D_1\cup D_2\cup D_3$ Dreieck mit Ecken -1-i, -1+i, 1-i

$z^{-1}(\Delta)=z^{-1}(D_1)\cup z^{-1}(D_2)\cup z^{-1}(D_3)$

$D_4=\left\{\lambda\in\IC\ :\ \operatorname{Re}\lambda+\operatorname{Im}\lambda\le1\right\}$

$\Delta'=D_1\cup D_2\cup D_4$

$z^{-1}(\Delta')=$

Es sei $(a_n)_{n\ge0}$ eine Folge in $\widehat{\IC}$ , $\lambda\in\widehat{\IC}$

Def $\limes_{n\to\infty} a_n=\lambda$ $:\gdw$ Ist U Umgebung von $\lambda$ (d.h. existiert offene Teilmenge V von $\widehat{\IC}$ mit $\lambda\inV\subseteq U$ ), so existiert mit:

$a_n\in U$ $\forall\ n\ge n_0$

Übg $\limes a_n=\infty\ \gdw\ \limes |a_n|=\infty$ (d.h. $\forall R>0\ \exists n_0\ :\ |a_n|>R\ \forall n>n_0$ )

Übg $a_n=n\cdot{}i^n\ (n\in\IN)$

$\limes a_n=\infty$

Es gilt: $\limes_{n\to\infty} a_n=\lambda, \limes_{n\to\infty} a_n=\lambda'\ \Rightarrow\ \lambda=\lambda'$

Es sei $f:\ D\to\widehat{\IC}$ , D offene Teilmenge von $\widehat{\IC}$ .
Def f ist stetig, wenn gilt:
Ist U offen in $\widehat{\IC}$ , so ist $f^{-1}(U)=\left\{\lambda\in D\ :\ f(\lambda)\in U\right\}$ offen in $\widehat{\IC}$ .

Es gilt: f ist stetig $\gdw$ Ist $(a_n)_{n\ge 0}$ Folge, $a_n\in D, \lambda\in D$ und ist $limes_{n\to\infty} a_n=\lambda$ , so ist $\limes_{n\to\infty} f(a_n)=f(\lambda)$

Übg $z^{-1}:\ \widehat{\IC}\to\widehat{\IC}$ ist stetig

Übg $f:\ \IC\to\widehat{\IC}$ stetig
Es existiert eine stetige Fortsetzung $\widehat{f}$ von zu Abbildung $\widehat{f}:\ \widehat{\IC}\to\widehat{\IC}$ $:\gdw$ $\exists\ \lambda\in\widehat{\IC}$ mit: Ist $\limes_{n\to\infty} a_n=\infty$ , so ist $\limes_{n\to\infty} f(a_n)=\lambda$

Übg $f=x+z^2:\ \IC\to\IC$
$\widehat{f}(\infty):=\infty$
$\widehat{f}(\lambda)=f(\lambda)$ für $\lambda\not=\infty$
$\widehat{f}$ ist stetig

Übg $x:\ \IC\to\IC$ nicht stetig fortsetzbar
$n\cdot{}i^n\to\infty$ , aber $x(n\cdot{}i^n)=\begin{cases}0 & n\equiv1\pmod{4}\\ n & n\equiv 0\pmod{4}\end{cases}$

Satz 4 Es seien $f,g\in\IC[z], g\not=0$ , und $h=\bruch{f}{g}:\ (\IC\setminus N(g))\to\IC$ gegeben durch $h(\lambda)=\bruch{f(\lambda)}{g(\lambda)}$ $\forall\ \lambda\in\IC\setminus N(g)$
Dann gilt: Es gibt genau eine stetige Abbildung $\widehat{h}:\ \widehat{\IC}\to\widehat{\IC}$ mit $\widehat{h}|_{\IC\setminus N(g)}=h$

$\uparrow$ Inhaltsverzeichnis $\rightarrow$ §2 Komplex differenzierbare Funktionen

Erstellt: So 13.03.2005 von Marc

Letzte Änderung: So 13.03.2005 um 14:23 von Marc

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