Betrag
Schule
Definition Betrag einer reellen Zahl
Der Betrag einer reellen Zahl  (im Zeichen |x|) ist wie folgt definiert:
Beispiele.
1.) Wegen  ist |3|=3.
2.) Wegen  ist  .
3.) Es gilt |0|=0.
4.) Es gilt  , also ist |-7|=-(-7)=7.
5.) Es gilt ![$ -\wurzel[7]{1023}<0 $](/teximg/7/6/00392067.png "$ -\wurzel[7]{1023}<0 $") , also ist ![$ |-\wurzel[7]{1023}|=-(-\wurzel[7]{1023})=\wurzel[7]{1023} $](/teximg/4/8/00387184.png "$ |-\wurzel[7]{1023}|=-(-\wurzel[7]{1023})=\wurzel[7]{1023} $") .
Bemerkungen.
1.) Für alle gilt  . Denn:
1. Fall: Für  gilt  .
2. Fall: Für  gilt
 
und damit folgt:
 , also insbesondere .
Damit gilt   in allen Fällen,und damit ist die Behauptung gezeigt!
2.) Auf der Zahlengeraden gibt der Betrag einer reellen Zahl x den Abstand der Zahl x zur Zahl 0 an.
3.) Für jede reelle Zahl x gilt die Gleichung:
 , denn:
1. Fall: Für  gilt  .
2. Fall: Für gilt
, und deswegen folgt:
 -x=|x|.
Somit folgt:
 .
Damit gilt in allen Fällen und die Behauptung ist gezeigt (siehe auch Quadratwurzel einer reellen Zahl).
Universität
Definition Betrag
Seien  ein geordneter Körper und  sowie  das Nullelement von K. Dann heißt:
der (absolute) Betrag von x.
Bemerkungen.
Es sei stets ein geordneter Körper und es sei  das zugehörige Nullelement. Dann gelten:
1.)   ,
denn:
1.Fall:  . Dann gilt:
2.Fall:
 . Dann gilt:
und es folgt:
 , also insbesondere:
2.) Die Dreiecksungleichung:
 ,
denn:
1.Fall:  . Dann gilt:
2.Fall:  . Dann gilt:
3.) Es gilt 
 ,
denn:
Es gilt:
 
und analog sieht man:
 
Aus und folgt die Behauptung.
4.)  ,
denn:
5.) Seien  (j=1,...,n). Dann gilt:
 .
Beweis:
Per Induktion:
Induktionsanfang:
Für n=1  klar
Induktionsschritt:
6.) Es gilt die Bernoulli-Ungleichung.
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