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argl, Tyskie84www.matheraum.de
Oberstufenmathematik - Analysis/Analytische Geometrie
Aufgabenblatt 8
Abgabe: Di 16.09.2008 18:00		09.09.2008
keine
Aufgabe 1
Sei $ G $ ein Monoid. Wir betrachten die folgenden Bedingungen:
(i) $ G $ ist eine Gruppe.
(ii) Sind $ a, x, y \in G $ mit $ a x = a y $ oder $ x a = y a $, dann gilt $ x = y $.

Die Implikation ''$ (i) \Rightarrow (ii) $'' gilt immer.
Zeige, dass die andere Implikation ''$ (ii) \Rightarrow (i) $'' für endliche Monoide auch immer gilt. Gib weiterhin ein Beispiel für einen unendlichen Monoid an, wo sie nicht gilt.
Aufgabe 2
Sei $ X $ eine Menge und $ Y \subseteq X $ eine Teilmenge.
Zeige, dass die Gruppe $ S(Y) $ auf kanonische Weise als Untergruppe von $ S(X) $ aufgefasst werden kann.


Hinweis: Bei dieser Aufgabe geht es auch daraum, ueber das Wort 'kanonisch' nachzudenken :-) Falls euch das Wort nicht vertraut ist, schaut mal []hier.
Aufgabe 3
Sei $ G $ eine endliche abelsche Gruppe (multiplikativ geschrieben). Dann gilt $ \prod_{g\in G} g^2 = 1 $.
Aufgabe 4
Sei $ G $ eine Gruppe mit der Eigenschaft, dass für jedes Element $ g \in G $ gilt $ g^2 = 1 $ (dabei sei $ 1 $ das neutrale Element der Gruppe).
Zeige, dass $ G $ abelsch ist.
Aufgabe 5
Sei $ G $ eine Gruppe und seien $ H_i \subseteq G $, $ i = 1, 2 $ Untergruppen. Zeige, dass folgende beiden Aussagen äquivalent sind:
(i) $ H_1 \cup H_2 $ ist eine Untergruppe von $ G $;
(ii) $ H_1 \subseteq H_2 $ oder $ H_2 \subseteq H_1 $.
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