Abschnitt 1.1, Aufgabe 7 < VK 29: Oberstufe < VK Abivorbereitungen < Schule < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:59 Fr 01.09.2006 | | Autor: | felixf |
| Aufgabe | Sei $G$ eine Gruppe mit der Eigenschaft, dass für jedes Element $g [mm] \in [/mm] G$ gilt [mm] $g^2 [/mm] = 1$ (dabei sei $1$ das neutrale Element der Gruppe).
Zeige, dass $G$ abelsch ist. |
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Di 05.09.2006 | | Autor: | phrygian |
Beweis: Seien [mm]a,b\in G[/mm] beliebig. Zu zeigen ist, daß [mm]ab=ba[/mm] ist.
Da für alle [mm]g\in G[/mm] gilt, daß [mm]g^2=1[/mm] ist, gilt insbesondere [mm](ab)^2=1[/mm], d.h. [mm]abab=1[/mm]. Durch Rechtsmultiplikation beider Terme dieser Gleichung mit [mm]b^{-1}[/mm] erhält man [mm]aba=b^{-1}[/mm]; und durch Rechtsmultiplikation mit [mm]a^{-1}[/mm] erhält man daraus [mm]ab=b^{-1}a^{-1}[/mm] (*).
Andererseits folgt aus [mm]b^2=1[/mm] auch [mm]b=b^{-1}[/mm] (wiederum durch Rechtsmultiplikation mit [mm]b^{-1}[/mm]), und analog folgt aus [mm]a^2=1[/mm], daß [mm]a=a^{-1}[/mm] ist.
Durch Einsetzen in (*) erhält man daraus die gewünschte Gleichung [mm]ab=ba[/mm].
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:11 Sa 09.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo phrygian!
> Beweis: Seien [mm]a,b\in G[/mm] beliebig. Zu zeigen ist, daß [mm]ab=ba[/mm]
> ist.
> Da für alle [mm]g\in G[/mm] gilt, daß [mm]g^2=1[/mm] ist, gilt insbesondere
> [mm](ab)^2=1[/mm], d.h. [mm]abab=1[/mm]. Durch Rechtsmultiplikation beider
> Terme dieser Gleichung mit [mm]b^{-1}[/mm] erhält man [mm]aba=b^{-1}[/mm];
> und durch Rechtsmultiplikation mit [mm]a^{-1}[/mm] erhält man daraus
> [mm]ab=b^{-1}a^{-1}[/mm] (*).
> Andererseits folgt aus [mm]b^2=1[/mm] auch [mm]b=b^{-1}[/mm] (wiederum durch
> Rechtsmultiplikation mit [mm]b^{-1}[/mm]), und analog folgt aus
> [mm]a^2=1[/mm], daß [mm]a=a^{-1}[/mm] ist.
> Durch Einsetzen in (*) erhält man daraus die gewünschte
> Gleichung [mm]ab=ba[/mm].
Genau! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Di 05.09.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo zusammen!
Hier nochmal eine Lösung von mir. Ist das so richtig? Was kann/sollte ich ändern/verbessern?
Sei [mm] $x,y\in [/mm] G$, damit ist auch die Verknüpfung [mm] $g=xy\in [/mm] G$ (oder nicht???). Da [mm] g^2=1 [/mm] und [mm] g^2=(xy)(xy)=xyxy [/mm] folgt $xyxy=1$. Multiplikation von rechts mit y ergibt: [mm] $\gdw xyx\overbrace{yy}^{=1}=y \gdw [/mm] xyx=y$ Multiplikation von rechts mit x ergibt: [mm] $\gdw xy\overbrace{xx}^{=1}=yx \gdw [/mm] xy=yx$. Es gilt also xy=yx für beliebige [mm] $x,y\in [/mm] G$ und somit ist die Behauptung gezeigt. 
Irgendwie gefällt mir das Schriftbild überhaupt nicht. Kann man da irgendwas ändern, ohne jedes Wort "einzeln" in eine [mm] "\backslash\mbox{mbox}" [/mm] zu setzen???
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
Da ich nichts löschen möchte, was mir einmal im Kopf war, hier noch (nur für mich!  ) mein erster Ansatz: Seien [mm] $x,y\in [/mm] G$ invers zueinander, es gilt also: [mm] x^2=1, y^2=1, [/mm] xy=1=yx
es folgt: [mm] 1=1*1=x^2y^2=xxyy=x(xy)y=x(yx)y=xyxy=(xy)(xy)=(yx)(yx)=y(xy)x=y(yx)x=yyxx=y^2x^2
[/mm]
Also gilt [mm] x^2y^2=y^2x^2.
[/mm]
und wenn x und y nicht invers???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:09 Sa 09.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Bastiane!
> Hier nochmal eine Lösung von mir. Ist das so richtig? Was
> kann/sollte ich ändern/verbessern?
>
> Sei [mm]x,y\in G[/mm], damit ist auch die Verknüpfung [mm]g=xy\in G[/mm]
> (oder nicht???).
Ja, das ist so. Das liegt daran, dass es eine Verknuepfung ist.
> Da [mm]g^2=1[/mm] und [mm]g^2=(xy)(xy)=xyxy[/mm] folgt
> [mm]xyxy=1[/mm]. Multiplikation von rechts mit y ergibt: [mm]\gdw xyx\overbrace{yy}^{=1}=y \gdw xyx=y[/mm]
Die [mm] $\gdw$s [/mm] gehoeren da nicht hin, finde ich. Insbesondere das erste; das zweite kann man noch tolerieren :)
> Multiplikation von rechts mit x ergibt: [mm]\gdw xy\overbrace{xx}^{=1}=yx \gdw xy=yx[/mm].
Hier ebenso.
> Es gilt also xy=yx für beliebige [mm]x,y\in G[/mm] und somit ist die
> Behauptung gezeigt.
>
> Irgendwie gefällt mir das Schriftbild überhaupt nicht. Kann
Ja, das ist ein Problem mit Bildern in Text in Browsern...
> man da irgendwas ändern, ohne jedes Wort "einzeln" in eine
> [mm]"\backslash\mbox{mbox}"[/mm] zu setzen???
Ich denke nicht... Die einzige Loesung waere, den kompletten Beitrag zu TeXen (das muesste dann das System machen). Aber das ist halt nicht so angenehm, allein schon da kein copy'n'paste mehr geht etc.
Vielleicht wird das mal besser, wenn sich MathML durchsetzt (sprich: die meisten Browser das auch unterstuetzen)...
LG Felix
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Hallo Felix,
ich würde es so machen:
Das Entscheidende ist hier wohl, dass [mm] g^{2}=e [/mm] gilt. Übersetzt heißt das g ist zu sich selbst invers, also [mm] g=g^{-1}. [/mm] Nehmen wir uns also zwei bel. [mm]g,h\in G[/mm]. Dann folgt [mm] g*h=g^{-1}*h^{-1}=(h*g)^{-1}=h*g. [/mm]
Die Eigenschaft [mm] (hg)^{-1}=g^{-1}*h^{-1} [/mm] müsste man evtl. noch zeigen. Das ist aber auch nur ein Einzeiler. Dazu zeigt man zunächst, dass [mm] (g^{-1})^{-1}=g [/mm] und dann die Behauptung. Wegen e*e=e ist [mm] e^{-1}=e. [/mm] Dann zeigt die Gleichung [mm] g^{-1}*g=g*g^{-1}=e, [/mm] dass auch [mm] g^{-1} [/mm] invertierbar ist mit Inversem g. Wegen der Eindeutigkeit der Inversen folgt also [mm] (g^{-1})^{-1}=g. [/mm] Ebenso folgert man dann [mm] g^{-1}*h^{-1}*h*g=e=h*g*g^{-1}*h^{-1}. [/mm] Damit ist das auch gezeigt.
Viele Grüße
Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:05 Sa 09.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Daniel!
> ich würde es so machen:
>
> Das Entscheidende ist hier wohl, dass [mm]g^{2}=e[/mm] gilt.
> Übersetzt heißt das g ist zu sich selbst invers, also
> [mm]g=g^{-1}.[/mm] Nehmen wir uns also zwei bel. [mm]g,h\in G[/mm]. Dann
> folgt [mm]g*h=g^{-1}*h^{-1}=(h*g)^{-1}=h*g.[/mm]
Genau! So ist es auch schoen aufgeschrieben: Man faengt mit $g * h$ an und hoert mit $h * g$ auf, und alles in einer Gleichung
> Die Eigenschaft [mm](hg)^{-1}=g^{-1}*h^{-1}[/mm] müsste man evtl.
> noch zeigen. Das ist aber auch nur ein Einzeiler.
Exakt: $(h g) [mm] (g^{-1} h^{-1}) [/mm] = h g [mm] g^{-1} h^{-1} [/mm] = h [mm] h^{-1} [/mm] = e = (h g) (h [mm] g)^{-1}$. [/mm] Jetzt auf beiden Seiten mit $(h [mm] g)^{-1}$ [/mm] von links multiplizieren, und schon steht's da.
LG Felix
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Hallo Algebra-Kurs,
hier meine erste Lösung:
> Sei [mm]G[/mm] eine Gruppe mit der Eigenschaft, dass fuer jedes
> Element [mm]g \in G[/mm] gilt [mm]g^2 = 1[/mm] (dabei sei [mm]1[/mm] das neutrale
> Element der Gruppe). Zeige, dass [mm]G[/mm] abelsch ist.
Zu zeigen ist: [mm] $a,b\in [/mm] G\ [mm] \Rightarrow\ [/mm] a*b=b*a$
Sei [mm] $a,b\in [/mm] G$
$a*a=1\ [mm] \Rightarrow\ a=a^{-1}$ [/mm] (durch Multiplikation mit [mm] $a^{-1}$ [/mm] auf beiden Seiten)
Ebenso folgt
$b*b=1\ [mm] \Rightarrow\ b=b^{-1}$ [/mm] (durch Multiplikation mit [mm] $b^{-1}$ [/mm] auf beiden Seiten)
Nun gilt auch für das Element $a*b$ nach Voraussetzung
$(a*b)*(a*b)=1$
(Assoziativgesetz gilt in $G$)
[mm] $\Rightarrow\ [/mm] a*b*a*b=1$
(Multiplikation mit [mm] $a^{-1}$ [/mm] und [mm] $b^{-1}$ [/mm] von links in dieser Reihenfolge)
[mm] $\Rightarrow\ a*b=b^{-1}*a^{-1}$ [/mm]
Wegen [mm] $a=a^{-1}$ [/mm] und [mm] $b=b^{-1}$ [/mm] folgt nun die Behauptung
[mm] $\Rightarrow\ [/mm] a*b=b*a$
Wenn die anderen Aufgaben auch mal so einfach wären...
Gruß, Frusciante
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:01 Sa 09.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Frusciante!
> hier meine erste Lösung:
>
> > Sei [mm]G[/mm] eine Gruppe mit der Eigenschaft, dass fuer jedes
> > Element [mm]g \in G[/mm] gilt [mm]g^2 = 1[/mm] (dabei sei [mm]1[/mm] das neutrale
> > Element der Gruppe). Zeige, dass [mm]G[/mm] abelsch ist.
>
> Zu zeigen ist: [mm]a,b\in G\ \Rightarrow\ a*b=b*a[/mm]
>
> Sei [mm]a,b\in G[/mm]
>
> [mm]a*a=1\ \Rightarrow\ a=a^{-1}[/mm] (durch Multiplikation mit
> [mm]a^{-1}[/mm] auf beiden Seiten)
>
> Ebenso folgt
>
> [mm]b*b=1\ \Rightarrow\ b=b^{-1}[/mm] (durch Multiplikation mit
> [mm]b^{-1}[/mm] auf beiden Seiten)
Hier koenntest du auch sagen: Da $a [mm] \in [/mm] G$ beliebig war, gilt auch $b = [mm] b^{-1}$.
[/mm]
> Nun gilt auch für das Element [mm]a*b[/mm] nach Voraussetzung
>
> [mm](a*b)*(a*b)=1[/mm]
>
> (Assoziativgesetz gilt in [mm]G[/mm])
>
> [mm]\Rightarrow\ a*b*a*b=1[/mm]
>
> (Multiplikation mit [mm]a^{-1}[/mm] und [mm]b^{-1}[/mm] von links in dieser
> Reihenfolge)
>
> [mm]\Rightarrow\ a*b=b^{-1}*a^{-1}[/mm]
>
> Wegen [mm]a=a^{-1}[/mm] und [mm]b=b^{-1}[/mm] folgt nun die Behauptung
>
> [mm]\Rightarrow\ a*b=b*a[/mm]
Genau!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:53 Fr 08.09.2006 | | Autor: | Docy |
G sei eine Gruppe mit der Eigenschaft, dass für alle g [mm] \in [/mm] G gilt g²=1(dabei sei 1 das neutral e Element der Gruppe).Zeige, dass G abelsch ist.
Beweis:
Für alle a, b [mm] \in [/mm] G gilt: a*a=1 bzw. b*b=1. Z.z.: ab=ba
Aus aa=1 und bb=1folgt [mm] a=a^{-1} [/mm] bzw. [mm] b=b^{-1}.
[/mm]
Aus
aa=1 und bb=1
folgt
aa=bb.
Durch Umformen ergibt sich zunächst
[mm] aab^{-1}=b [/mm]
und anschließend
[mm] ab^{-1}=ba^{-1}.
[/mm]
Da [mm] a^{-1}=a [/mm] bzw. [mm] b^{-1}=b [/mm] folgt
ab=ba.
Das ist das Kriterium für kommutative bzw. abelsche Gruppen, damit ist G abelsch.
PS: Ich hoffe, man kann das so machen
Gruß
Docy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:07 Di 12.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Docy!
> G sei eine Gruppe mit der Eigenschaft, dass für alle g [mm]\in[/mm]
> G gilt g²=1(dabei sei 1 das neutral e Element der
> Gruppe).Zeige, dass G abelsch ist.
>
> Beweis:
> Für alle a, b [mm]\in[/mm] G gilt: a*a=1 bzw. b*b=1. Z.z.: ab=ba
> Aus aa=1 und bb=1folgt [mm]a=a^{-1}[/mm] bzw. [mm]b=b^{-1}.[/mm]
> Aus
>
> aa=1 und bb=1
>
> folgt
>
> aa=bb.
>
> Durch Umformen ergibt sich zunächst
>
> [mm]aab^{-1}=b[/mm]
>
> und anschließend
>
> [mm]ab^{-1}=ba^{-1}.[/mm]
Das geht nicht: Auf der linken Seite hast du von Links mit [mm] $a^{-1}$ [/mm] multipliziert, auf der rechten Seite aber von Rechts! Damit folgt diese Gleichung nicht aus der vorherigen! Aus der vorherigen bekommst du erstmal nur $a [mm] b^{-1} [/mm] = [mm] a^{-1} [/mm] b$, aber damit kommst du nicht weiter... Sorry.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:16 Mo 11.09.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Teilnehmer,
ich sehe hier noch eine nicht freigegebene Frage, die ich folglich auch nicht beantworten kann.
Gruß
Dieter
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