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| Aufgabe | Beweisen Sie, dass die Funktion
f: ]0, [mm] \infty[ \to \IR, [/mm] x [mm] \to [/mm] f(x) := arctan(2x - 1) + [mm] arctan\bruch{1 - x}{x} [/mm] konstant ist. |
Hallo,
bevor ich mich ueberhaupt an die Loesung dieser Aufgabe mache erstmal eine Frage: M. E. nach ist die Loesung doch schon von Anfang an zum Scheitern verurteilt, da ja arctan(x) nur fuer x [mm] \in ]-\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}[ [/mm] und daher von (2x - 1) in ]0, [mm] \infty[ [/mm] und erst recht von x in ]0, [mm] \infty[ [/mm] gar keine Rede sein kann. Oder wie versteht ihr die Aufgabe?
Gruss und danke,
Martin
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Verwechselst du nicht Definitions- und Wertebereich einer Funktion?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Mi 02.05.2007 | | Autor: | sancho1980 |
ui da hast du wohl recht :)
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Ich wuerde mal versuchen, die Funktion abzuleiten... Wenn sie wirklich konstant ist, wie sollte dann die Ableitung aussehen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:42 Mi 02.05.2007 | | Autor: | sancho1980 |
na 0!
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Eine Frage noch:
[mm]arctan'(x) = cos^2x[/mm]
Ist dann
[mm]arctan'(2x - 1) = cos^2(2x - 1)[/mm]
Oder muss ich das 2x - 1 auch noch "innen" ableiten?
Danke
Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:47 Mi 02.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martin!
Es gilt: [mm] $\left[ \ \arctan(x) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1+x^2}$
[/mm]
Und selbstveständlich musst Du dann auch die innere Ableitung gemäß  Kettenregel beachten.
Gruß
Loddar
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1)
> Es gilt: [mm]\left[ \ \arctan(x) \ \right]' \ = \ \bruch{1}{1+x^2}[/mm]
Aber [mm]tan'x = \bruch{1}{cos^2x}[/mm]
Und die Ableitung der inversen Funktion ist doch: [mm] \bruch{1}{x'f}
[/mm]
Da arctan die inverse Funktion von tan ist, müsste doch dann [mm]arctan' = \bruch{1}{cos^(-2)x} = cos^2x sein![/mm] Oder wie, oder was?
2)
Wenn ich jetzt mit deiner Ableitung von arctan weitermache, komm ich auf Folgendes:
[mm]f'(x) = \bruch{1}{1 + (2x - 1)^2} * 2 + \bruch{1}{1 + (1 - x)x^(-1)} * (-x^(-2)) = \bruch{2}{1 + 4x^2 - 4x + 1} + \bruch{-x^(-2)}{1 + x ^(-1) - 1} = \bruch{2}{4x^2 - 4x + 2} + \bruch{1}{x^(-1) * (-x^2)} = \bruch{2}{4x^2 - 4x + 2} + \bruch{1}{-x}[/mm]
Damit hab ich aber leider nicht f' = 0 gezeigt :-( Sieht einer den/die Fehler?
Gruß,
Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:00 Do 03.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Martin
guck dir das mit den Ableitungen der Umkehrfkt doch noch mal an !
[mm] x^2 [/mm] und [mm] \wurzle{x} [/mm] sind Umkehrfkt, [mm] x^2 [/mm] abgeleitet ist 2x, aber [mm] \wurzel{x} [/mm] abgel ist NICHT [mm] \bruch{1}{2x}
[/mm]
ebenso [mm] e^x [/mm] und lnx [mm] (lnx)'\ne \bruch{1}{e^x}
[/mm]
Mach dirs an den Beispielen noch mal klar!
Gruss leduart
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Da hab ich wohl was falsch verstanden.
Aber trotzdem, was ist an meiner Rechnung falsch? Da hab ich doch die richtige Ableitung vom arctan verwendet. Trotzdem kommt da nicht 0 raus!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:33 Do 03.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martin!
Die Ableitung des 2. Terms [mm] $\arctan\left(\bruch{1-x}{x}\right)$ [/mm] ist falsch. Das muss heißen:
[mm] $\left[ \ \arctan\left(\bruch{1-x}{x}\right) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1+\left(\bruch{1-x}{x}\right)^{\red{2}}}*\left(-\bruch{1}{x^2}\right) [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{1+\bruch{(1-x)^2}{x^2}}*\bruch{1}{x^2} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{x^2+(1-x)^2} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 Do 03.05.2007 | | Autor: | sancho1980 |
Ok danke dir, jetzt geht das auch auf 
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> 2)
>
> Wenn ich jetzt mit deiner Ableitung von arctan weitermache,
> komm ich auf Folgendes:
>
> [mm]f'(x) = \bruch{1}{1 + (2x - 1)^2} * 2 + \bruch{1}{1 + (1 - x)x^(-1)} * (-x^(-2)) = \bruch{2}{1 + 4x^2 - 4x + 1} + \bruch{-x^(-2)}{1 + x ^(-1) - 1} = \bruch{2}{4x^2 - 4x + 2} + \bruch{1}{x^(-1) * (-x^2)} = \bruch{2}{4x^2 - 4x + 2} + \bruch{1}{-x}[/mm]
Bitte bitte sag doch mal einer was; stimmt da jetzt die Ableitung nicht oder liegt es an der Umstellung?
Ich find den Fehler einfach nicht...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:03 Do 03.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marten!
In dieser Antwort habe ich doch auch mal das [mm] $(...)^{\red{2}}$ [/mm] rot markiert, was Du vergessen hattest bei der Ableitung des 2. Terms.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:29 Mi 02.05.2007 | | Autor: | rabilein1 |
arctan 1000 = 89,94 ° - also musst du da was verwechselt haben
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