schwieriger Endomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Mi 23.05.2007 | | Autor: | max86 |
| Aufgabe | Seien K ein Körper und V ein K-Vektorraum (nicht notwendig endlich dimensionaler). Sei f [mm] \in End_K(V)
[/mm]
I)
Zeige: f² = f [mm] \gdw \exists [/mm] U, W [mm] \subset [/mm] V Untervektorräume mit V = U [mm] \oplus [/mm] W und für alle u [mm] \in [/mm] U und w [mm] \in [/mm] W : f(u + w) = u
II)
Seien (V, < , >) ein endlicher dimensionaler euklidischer oder unitärer Verktorraum und [mm] f\in [/mm] End(V)
Zeige: f² = f und f ist selbstadjugiert [mm] \gdw \exists [/mm] U [mm] \subset [/mm] V ein Untervektorraum mit [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U, w [mm] \in U^\perp: [/mm] f(u + w) = u |
Hallo leute!
Ich komm da einfach nicht zurecht mit der Aufgabe... wahrscheinlich hab ich was verpasst in der Vorlesung!
f² = f daraus folgt doch das f = id ist oder? Wie musst ich hier vorgehen?
Könntet ihr mir helfen bzw. die Teilaufgabe a) mal zeigen, dann schaff ich hoffentlich die b) allein.
Vielen Dank
mfg
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> Seien K ein Körper und V ein K-Vektorraum (nicht notwendig
> endlich dimensionaler). Sei f [mm]\in End_K(V)[/mm]
>
> I)
> Zeige: f² = f [mm]\gdw \exists[/mm] U, W [mm]\subset[/mm] V Untervektorräume
> mit V = U [mm]\oplus[/mm] W und für alle u [mm]\in[/mm] U
> und w [mm]\in[/mm] W : f(u + w) = u
>
> f² = f daraus folgt doch das f = id ist oder?
Hallo,
nein, es gibt noch viel mehr lineare Abbildungen, bei denen das der Fall ist.
Es handelt sich hier um die Projektionen.
Zur Vorgehensweise:
Die Rückrichtung "<==" ist recht einfach.
Du hast Unterräume U, W mit V = U [mm]\oplus[/mm] W, weißt, daß Deine Abbildung für alle [mm] u\in [/mm] U und [mm] w\in [/mm] W die Eigenschaft f(u + w) = u hat.
Zeigen willst Du: [mm] f^2=f.
[/mm]
Das bedeutet: Für alle [mm] x\in [/mm] V gilt [mm] f^2(x)=f(f(x))=f(x)
[/mm]
Nun nimmst Du Dir ein [mm] x\in [/mm] V her.
Wegen V = U [mm]\oplus[/mm] W gibt es eindeutig bestimmte [mm] x_u\in [/mm] U und [mm] x_v \in [/mm] V mit [mm] x=x_u+x_v
[/mm]
Also ist [mm] f^2(x)=...
[/mm]
Die Hinrichtung "==>":
Zeige hier, daß Du V schreiben kannst als V= Kern f [mm] \oplus [/mm] Bild f.
Für das Wie könnten meine Bemerkungen zu b nützlich sein.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:28 Do 24.05.2007 | | Autor: | max86 |
ja stimmt, war irgendwie verwirrt bei diesem f² ... also die a) hab ich eigentlich geschafft jetzt probier ich mal die b) ... sollt ich nach der super Hilfe eigentlich auch schaffen .... also vielen dank angela!!
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