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| Aufgabe | Es seien V ein endlich-dimensionaler Vektorraum, [mm] W_{1},W_{2} [/mm] Untervektorräume von V und es gelte V = [mm] W_{1} \oplus W_{2}
[/mm]
Man definiere die Abbildungen [mm] \pi_{1}, \pi_{2} [/mm] : V [mm] \to [/mm] V auf die folgende Weise:
Zu jedem v [mm] \in [/mm] V gibt es eindeutig bestimmte [mm] w_{i} \in W_{i} [/mm] so dass gilt v = [mm] w_{1} [/mm] + [mm] w_{2} [/mm] Dann setzt man [mm] \pi_{i}(v) [/mm] = [mm] w_{i}
[/mm]
Man nennt [mm] \pi_{i} [/mm] die Projektion auf [mm] W_{i}.
[/mm]
Beweisen Sie:
a) [mm] \pi_{1} [/mm] und [mm] \pi_{2} [/mm] sind linear und es gilt [mm] \pi^{2} [/mm] = [mm] \pi
[/mm]
b) Es sei [mm] \pi [/mm] : v [mm] \to [/mm] V und eine lineare Abbildung so dass gilt [mm] \pi^{2} [/mm] = [mm] \pi. [/mm] Dann gilt V = ker [mm] \pi \oplus \pi(V)
[/mm]
und [mm] \pi [/mm] ist die Projektion auf [mm] \pi(V). [/mm] Berechnen Sie die Projektion auf ker [mm] \pi [/mm] |
Hmm... also bei der a) muss ich ja einfach die Bedingungen für linearität zeigen oder?
Aber wie berechne ich denn ker [mm] \pi [/mm] bei der b)
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> Es seien V ein endlich-dimensionaler Vektorraum,
> [mm]W_{1},W_{2}[/mm] Untervektorräume von V und es gelte V = [mm]W_{1} \oplus W_{2}[/mm]
>
> Man definiere die Abbildungen [mm]\pi_{1}, \pi_{2}[/mm] : V [mm]\to[/mm] V
> auf die folgende Weise:
> Zu jedem v [mm]\in[/mm] V gibt es eindeutig bestimmte [mm]w_{i} \in W_{i}[/mm]
> so dass gilt v = [mm]w_{1}[/mm] + [mm]w_{2}[/mm] Dann setzt man [mm]\pi_{i}(v)[/mm] =
> [mm]w_{i}[/mm]
> Man nennt [mm]\pi_{i}[/mm] die Projektion auf [mm]W_{i}.[/mm]
> Beweisen Sie:
>
> a) [mm]\pi_{1}[/mm] und [mm]\pi_{2}[/mm] sind linear und es gilt [mm]\pi^{2}[/mm] =
> [mm]\pi[/mm]
> b) Es sei [mm]\pi[/mm] : v [mm]\to[/mm] V und eine lineare Abbildung so dass
> gilt [mm]\pi^{2}[/mm] = [mm]\pi.[/mm] Dann gilt V = ker [mm]\pi \oplus \pi(V)[/mm]
>
> und [mm]\pi[/mm] ist die Projektion auf [mm]\pi(V).[/mm] Berechnen Sie die
> Projektion auf ker [mm]\pi[/mm]
> Hmm... also bei der a) muss ich ja einfach die Bedingungen
> für linearität zeigen oder?
Hallo,
... und daß [mm] \pi^2=\pi.
[/mm]
> Aber wie berechne ich denn ker [mm]\pi[/mm] bei der b)
Ist Dir klar, daß Du erstmal zeigen sollst, daß die besagte Summe direkt ist, und daß es sich bei [mm] \pi [/mm] um die Projektion auf [mm] \pi(V) [/mm] handelt?
Wenn Du das hast, sollst Du die Projektion auf kern [mm] \pi [/mm] "berechnen".
Nicht den Kern, sondern die Projektion darauf.
[mm] Kern\pi [/mm] ist ja klar: das ist [mm] =\{x\in V| \pi(x)=0\}.
[/mm]
Die Projektion [mm] \pi_k [/mm] auf kern [mm] \pi [/mm] kannst Du anhand der Anleitung im "Vorwort" der Aufgabe aufstellen, und ich glaube, daß Du [mm] \pi_k [/mm] dann unter Verwendung von [mm] \pi [/mm] darstellen sollst.
Gruß v. Angela
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Habe mich nun mal an die a) gesezt ... ich glaube die b) schaffe ich nicht :(
Also die linearität habe ich mal so gezeigt:
[mm] \pi (v_{1} [/mm] + [mm] v_{2}) [/mm] = [mm] (w_{1}+w_{1}') [/mm] + [mm] (w_{2}+w_{2}') [/mm] = w + w' = [mm] \pi (v_{1}) [/mm] + [mm] \pi v_{2}
[/mm]
und [mm] \pi(\lamda [/mm] v) = [mm] \lamda w_{1} [/mm] + lamda [mm] w_{1}' [/mm] = [mm] \lamda (w_{1}+w_{1}') [/mm] = [mm] \lamda \pi(v)
[/mm]
stimmt das?
So und nun noch [mm] \pi^{2} [/mm] = [mm] \pi [/mm] ... da bin ich mir recht unsicher :(
[mm] \pi^2(v) [/mm] = [mm] \pi \pi [/mm] (v) = [mm] \pi(w_{1}+w_{1}') [/mm] = [mm] (w_{1}+w_{2}) [/mm] + [mm] w_{1}'+w_{2}' [/mm] = w + w' = [mm] \pi(v) [/mm]
stimmt das?
Naja und wie schon gesagt an die b) setzte ich mich jetzt mal, aber irgendwie scheint die für mich nicht machbar :(
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Hallo,
ich glaube, Dir würde manches besser gelingen, wenn Du etwas genauer arbeiten würdest.
Z.B. sind es zwei Projektionen [mm] \pi_1 [/mm] und [mm] \pi_2, [/mm] um die es geht und für die die Linearität in a) zu zeigen ist.
Auch dürfen keine Vektoren [mm] v_i, w_i,w [/mm] durch die Luft geflogen kommen, man muß erklären, was das sein soll.
Es geht mir hier nicht um absolute Korrektheit um der Form halber, sondern darum, daß man es selbst leichter hat, wenn man sich über sein Tun permanent Rechenschaft ablegt. Über das mathematische Tun, meine ich.
Nach dieser Vorrede - welche als Tip für die Zukunft zu lesen ist - wenden wir uns der Aufgabe zu.
Es sei V Vektorraum über K, V=$ [mm] W_{1} \oplus W_{2} [/mm] $ mit [mm] W_I [/mm] Unterräume von V.
Betrachten wir zuerst die Abbildung [mm] \pi_1: [/mm] V-->V
mit [mm] \pi_1(w):=w_1 [/mm] für [mm] w=w_1+w_2 [/mm] mit [mm] w_i\in W_i.
[/mm]
(Die Zerlegung von w in [mm] w=w_1+w_2 [/mm] ist eindeutig wegen der direkten Summe, sonst wäre die Def. der Funktion sinnlos...)
Zeigen wollen wir die Linearität.
Was müssen wir nachweisen?
A. Für alle v,w [mm] \in [/mm] V gilt [mm] \pi_1(v+w)=\pi_1(v)+\pi_1(w)
[/mm]
B. Für alle [mm] v\in [/mm] V und für alle [mm] \lambda\in [/mm] K gilt [mm] \pi_1(\lambda v)=\lambda\pi_1( [/mm] v).
> Also die linearität habe ich mal so gezeigt:
In dem , was Du tust, ist einiges richtige drin.
Ich verfolge das jetzt mal nicht weiter, weil ich Dir gerne an diesem Beispiel zeigen möchte, wie man es mit der nötigen Ausführlichkeit zeigt.
A. Seien v,w [mm] \in [/mm] V. Wegen V=$ [mm] W_{1} \oplus W_{2} [/mm] kann man v, w eindeutig schreiben als [mm] v=v_1+v_2, w=w_1+w_2 [/mm] mit [mm] v_i,w_i \in W_i.
[/mm]
Es ist
[mm] \pi_1(v+w)=\pi_1(v_1+v_2+w_1+w_2)=\pi((v_1+w_1)+(v_2+w_2)) [/mm] (Eigenschaft der Vektoraddition.)
Da die [mm] W_i [/mm] Unterräume von V sind, ist [mm] v_i+w_i \in W_i.
[/mm]
Nach Definition von [mm] \pi_1 [/mm] erhält man
[mm] obiges=v_1+w_1= \pi_1(v_1+v_2)+\pi_1(w_1+w_2) [/mm] nach Def. der Abbildung.
[mm] =\pi_1(v)+\pi_1(w), [/mm] was zu zeigen war.
B. Sei [mm] v\in [/mm] V, [mm] \lambda \in [/mm] K, [mm] v=v_1+v_2 [/mm] mit [mm] v_i\in W_i.
[/mm]
Es ist [mm] \pi_1(\lambda v)=\pi_1(\lambda (v_1+v_2))=\pi_1(\lambda v_1+\lambda v_2)
[/mm]
Da die [mm] W_i [/mm] UVR von V sind, ist [mm] \lambda v_i\in W_i.
[/mm]
Nach Def. der Abbildung [mm] \pi_1 [/mm] erhält man
[mm] obiges=\lambda v_1=\lambda\pi_1(v_1+v_2) [/mm] (nach Def. der Abb.)
[mm] =\lambda \pi(v), [/mm] was zu zeigen war.
Nun kannst Du im selben Stile die Linearität für [mm] \pi_2 [/mm] nachweisen.
Überlege bei jedem Schritt: warum eigentlich?
Wenn Du damit fertig bist, wirst Du die Funktionsweise der Abblidungen [mm] \pi_i
[/mm]
auch besser verstanden zu haben. Dann zeige [mm] \pi_1^2=\pi_1 [/mm] und für [mm] \pi_2 [/mm] dann auch.
Starte mit [mm] v=v_1+v_2, v_i\in W_i
[/mm]
[mm] \pi_1^2(v)=\pi_1^2(v_1+v_2)=\pi_1(\pi_1(v_1+v_2))=...
[/mm]
Rechne Dich von innen nach außen vor.
Ich denke auch, daß es günstig ist, b) zunächst zurückzustellen.
Gruß v. Angela
>
> [mm]\pi (v_{1}[/mm] + [mm]v_{2})[/mm] = [mm](w_{1}+w_{1}')[/mm] + [mm](w_{2}+w_{2}')[/mm] = w +
> w' = [mm]\pi (v_{1})[/mm] + [mm]\pi v_{2}[/mm]
>
> und [mm]\pi(\lamda[/mm] v) = [mm]\lamda w_{1}[/mm] + lamda [mm]w_{1}'[/mm] = [mm]\lamda (w_{1}+w_{1}')[/mm]
> = [mm]\lamda \pi(v)[/mm]
>
> stimmt das?
>
> So und nun noch [mm]\pi^{2}[/mm] = [mm]\pi[/mm] ... da bin ich mir recht
> unsicher :(
>
> [mm]\pi^2(v)[/mm] = [mm]\pi \pi[/mm] (v) = [mm]\pi(w_{1}+w_{1}')[/mm] = [mm](w_{1}+w_{2})[/mm]
> + [mm]w_{1}'+w_{2}'[/mm] = w + w' = [mm]\pi(v)[/mm]
>
> stimmt das?
>
> Naja und wie schon gesagt an die b) setzte ich mich jetzt
> mal, aber irgendwie scheint die für mich nicht machbar :(
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Erstmal vielen, vielen Dank für deine gute und so ausführliche Antwort.
Ich habe das nun mal für [mm] \pi_{2} [/mm] gemacht (ist eigentlich fast analog zu [mm] \pi_{1} [/mm] oder)
A:
Sei v,w [mm] \in [/mm] V Wegen [mm] V=W_{1} \oplus W_{2} [/mm] kann man auch hier v,w eindeutig schreiben als [mm] v=v_{1}+v_{2}, [/mm] w= [mm] w_{1}+w_{2} [/mm] mit [mm] v_{i}, [/mm] w{i} [mm] \in W_{i}
[/mm]
Sei [mm] \pi_{2}(v+w) [/mm] = [mm] \pi_{2}(v_{1}+v_{2}+w_{1}+w_{2})=\pi_{2}((v_{1}+w_{1})+(v_{2}+w_{2})) [/mm] = nach Def. von [mm] \pi_{2} v_{2}+w_{2} [/mm] = [mm] \pi_{2}(v_{1}+v_{2}) [/mm] + [mm] \pi_{2}(w_{1}+w_{2}) [/mm] = [mm] \pi_{2}(v) [/mm] + [mm] \pi_{w}
[/mm]
B:
Sei v [mm] \in [/mm] V, [mm] \lambda \in [/mm] K [mm] v=v_{1}+v_{2} [/mm] mit [mm] v_{i} \in W_{i}
[/mm]
Dann ist [mm] \pi_{2}(\lambda v)=\pi_{2}(\lambda(v_{1}+v_{2})) [/mm] = [mm] \pi_{2}(\lmbdav_{1}+\lambdav_{2}) [/mm] da [mm] W_{i} \subset [/mm] in V ist [mm] \lambda v_{i} [/mm] \ in [mm] W_{i} [/mm] nach Def von [mm] \pi_{2} [/mm] ergibt dies = [mm] \lambda v_{2} [/mm] = [mm] \lambda \pi_{2}(v_{1}+v_{2}) [/mm] = Def von [mm] \pi_{2} [/mm] = [mm] \lambda \pi(v)
[/mm]
mit dem [mm] \pi^{2}=\pi [/mm] Beweis bin ich mal soweit gekommen :)
Also [mm] \pi_{1}^{2}(v)=\pi_{1}^{2}(v_{1}+v_{2})=\pi_{1}(\pi_{1}(v_{1}+v_{2})=\pi_{1}(v_{1})= [/mm] da [mm] v=v_{1}+v_{2} [/mm] => [mm] \pi_{1}(v-v_{2}) [/mm] = [mm] \pi_{1}(v)-\pi_{1}(v_{2}=\pi_{1}(v)-\pi_{1}(v)+\pi_{1}(v_{1})=nach [/mm] Def von [mm] \pi_{1} [/mm] = [mm] \pi_{1}(v)
[/mm]
Stimmt dieser Beweis oder kann ich [mm] v_{1} [/mm] vielleicht dirket als Element von V sehen da es ja [mm] \subset W_{1} [/mm] und [mm] W_{1} \subset [/mm] in V??? Das wäre nämlich glaube ich korrekter, oder?
Vielen Dank nochmal für deine Mühe :)
Liebe Grüße.
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> Ich habe das nun mal für [mm]\pi_{2}[/mm] gemacht (ist eigentlich
> fast analog zu [mm]\pi_{1}[/mm] oder)
Ja, das ist sehr ähnlich.
>
> A:
> Sei v,w [mm]\in[/mm] V Wegen [mm]V=W_{1} \oplus W_{2}[/mm] kann man auch
> hier v,w eindeutig schreiben als [mm]v=v_{1}+v_{2},[/mm] w=
> [mm]w_{1}+w_{2}[/mm] mit [mm]v_{i},[/mm] w{i} [mm]\in W_{i}[/mm]
>
> Sei [mm]\pi_{2}(v+w)[/mm] =
> [mm]\pi_{2}(v_{1}+v_{2}+w_{1}+w_{2})=\pi_{2}((v_{1}+w_{1})+(v_{2}+w_{2}))[/mm]
> = nach Def. von [mm]\pi_{2} v_{2}+w_{2}[/mm] = [mm]\pi_{2}(v_{1}+v_{2})[/mm]
> + [mm]\pi_{2}(w_{1}+w_{2})[/mm] = [mm]\pi_{2}(v)[/mm] + [mm]\pi_{w}[/mm]
>
> B:
> Sei v [mm]\in[/mm] V, [mm]\lambda \in[/mm] K [mm]v=v_{1}+v_{2}[/mm] mit [mm]v_{i} \in W_{i}[/mm]
>
> Dann ist [mm]\pi_{2}(\lambda v)=\pi_{2}(\lambda(v_{1}+v_{2}))[/mm] =
> [mm]\pi_{2}(\lmbdav_{1}+\lambdav_{2})[/mm]
> da [mm]W_{i} \subset[/mm] in V ist
Achtung: nicht nur Teilmenge, sondern Unterraum!
> [mm]\lambda v_{i}[/mm] \ in [mm]W_{i}[/mm] nach Def von [mm]\pi_{2}[/mm] ergibt dies =
> [mm]\lambda v_{2}[/mm] = [mm]\lambda \pi_{2}(v_{1}+v_{2})[/mm] = Def von
> [mm]\pi_{2}[/mm] = [mm]\lambda \pi(v)[/mm]
>
> mit dem [mm]\pi^{2}=\pi[/mm] Beweis bin ich mal soweit gekommen :)
>
> Also
[mm] >\pi_{1}^{2}(v)=\pi_{1}^{2}(v_{1}+v_{2}) =\pi_{1}(\pi_{1}(v_{1}+v_{2})=\pi_{1}(v_{1})= [/mm] [...]
> Stimmt dieser Beweis oder kann ich [mm]v_{1}[/mm] vielleicht dirket
> als Element von V sehen da es ja [mm]\subset W_{1}[/mm] und [mm]W_{1} \subset[/mm]
> in V??? Das wäre nämlich glaube ich korrekter, oder?
Genau, das hast Du richtig erkannt. [mm] v_1 [/mm] kannst Du als Element von V sehen, deshalb gibt es eine eindeutige Zerlegung in Elemente aus [mm] W_1 [/mm] und [mm] W_2, [/mm] nämlich [mm] v_1=v_1+0
[/mm]
daher ist [mm] \pi_{1}(v_{1})=\pi_{1}(v_1+0)= v_1=\pi(v_1+v_2)=p(v).
[/mm]
Für [mm] \pi_2 [/mm] dann entsprechend.
Falls Du noch mit b)anfangen willst:
Da hat man nun eine Abbildung [mm] \pi: [/mm] V-->V mit der Eigenschaft [mm] \pi^2=\pi.
[/mm]
Verstehst Du? In Teil b) ist das Voraussetzung und nicht Folgerung.
Du sollst nun zunächst zeigen, daß die Summe V=kern [mm] \pi \oplus \pi(V) [/mm] direkt ist. D.h. man erhält so ganz V und im Schnitt von [mm] Kern\pi [/mm] und [mm] \pi(V)=Bild\pi [/mm] liegt nur die 0.
Nun - ich bekam schon einen Schreck und habe nochmal nachgeschaut - ist V als endlichdimensional vorausgesetzt.
Das bedeutet: darüber, daß [mm] V=\kern\pi [/mm] plus [mm] \pi(V) [/mm] ist, brauchst DuDir keine Gedanken zu machen, das sagt der Satz, den ich als Kern-Bild-Satz kennengelernt habe. Bestimmt findest Du ihn irgendwo oder weißt ihn gar.
Edit: zunächst ist zu zeigen, daß V die Summe dieser beiden UVRe von V ist.,
daß man also jedes [mm] v\in [/mm] V schreiben kann als v=k+b mit [mm] k\in Kern\pi [/mm] und [mm] b\in Bild\pi.
[/mm]
Schreibe hierfür [mm] v\in [/mm] V als [mm] v=(v-\pi(v))+\pi(v).
[/mm]
Dann mußt Du noch zeigen, daß im Schnitt lediglich die Null liegt.
Dazu nimm ein [mm] v\in [/mm] V, welches im Schnitt liegt, also im Kern und im Bild.
Damit mußt Du etwas spielen und natürlich [mm] \pi^2=\pi [/mm] ausreizen.
Gruß v. Angela
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Nochmals vielen Dank :)
Ich habe nun doch mal mit der b) angefangen ... und zwar habe ich dieses Element v das sowohl in ker [mm] \pi [/mm] und in Im [mm] \pi [/mm] ist auf einen Widerspruch hinausgeführt, da die Zerlegung bei [mm] \pi^{2} [/mm] dann nicht mehr eindeutig wäre, was aber Vorraussetzung ist, somit existiert kein solches Element, was besagt das der Schnitt zwischen Kern und Bild = 0 ist ... ist das richtig?
Vielen Dank nochmal für deine Mühe ... schönen Abend noch.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:17 Do 17.05.2007 | | Autor: | statler |
Hallo, guten Morgen!
> Ich habe nun doch mal mit der b) angefangen ...
Das verstehe ich noch, ...
> und zwar
> habe ich dieses Element v das sowohl in ker [mm]\pi[/mm] und in Im
> [mm]\pi[/mm] ist auf einen Widerspruch hinausgeführt,
... aber das schon nicht mehr. Man kann ein Element nicht auf einen Widerspruch hinausführen.
> da die
> Zerlegung bei [mm]\pi^{2}[/mm] dann nicht mehr eindeutig wäre, was
> aber Vorraussetzung ist, somit existiert kein solches
> Element, was besagt das der Schnitt zwischen Kern und Bild
> = 0 ist ... ist das richtig?
Und hier weiß ich überhaupt nicht, was du gemacht hast. Wenn v ein beliebiges Element ist, dann liegt [mm]\pi[/mm](v) auf jeden Fall in [mm] Im(\pi). [/mm] In der Zerlegung v = (v - [mm]\pi[/mm](v)) + [mm]\pi[/mm](v) ist also der letzte Summand [mm] \in Im(\pi). [/mm] Wo liegt der eingeklammerte Summand?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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