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| Aufgabe | Sei [mm] V=\IR^3 [/mm] und E die Ebene [mm] E=\left\{ \vektor{1 \\ 2 \\ 3} + \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 0} + \mu \vektor{-1 \\ 1 \\0} | \lambda, \mu \in \IR\right\} [/mm] .
Sei [mm] \pi [/mm] : V-->V die Abbildung, die einen Punkt x an der Ebene E spiegelt. Bestimme eine Translation T: V-->V und eine orthogonale Matrix A [mm] \in O_3 (\IR), [/mm] sodass [mm] \pi [/mm] = T [mm] \circ L_A [/mm] gilt. |
Guten Abend,
ich benötige Hilfe zu obiger Aufgabe. Es wäre sehr nett, wenn ihr mir helfen könntet. Leider habe ich keinen Ansatz, wie man T und die orthogonale Matrix bestimmen soll, da ich noch nie eine Aufgabe dieser Art habe lösen müssen....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:49 Mo 13.05.2013 | | Autor: | Trikolon |
V.a. bei der orthogonalen Matrix hänge ich, weil man ja noch nicht einmal eine Matrix gegeben hat, die man orthogonalisieren könnte...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:26 Di 14.05.2013 | | Autor: | hippias |
Ersteinmal zur Bestimmung von $T$: Versuche z.B. den Punkt $(0,0,5)$ an $E$ zu spiegeln und verallgemeinere dann auf einen beliebigen Punkt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:36 Mi 15.05.2013 | | Autor: | Trikolon |
Also wenn man einen beliebigen Punkt an der Ebene spigelt, erhält man als Spiegelpunkt [mm] P'(x_1 [/mm] | [mm] x_2 [/mm] | [mm] 18-3x_3 [/mm] ). Wie genau hilft mir das jetzt weiter, bzw. wie bestimmt man jetzt die andere Matrix?
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Hallo Trikolon,
nicht ganz.
> Also wenn man einen beliebigen Punkt an der Ebene spigelt,
> erhält man als Spiegelpunkt [mm]P'(x_1[/mm] | [mm]x_2[/mm] | [mm]18-3x_3[/mm] ).
Nein, man erhält [mm] P'(x_1|x_2|6-x_3).
[/mm]
> Wie
> genau hilft mir das jetzt weiter, bzw. wie bestimmt man
> jetzt die andere Matrix?
Welchen Teil der obigen Abbildung leistet die Translation, welchen die orthogonale Matrix?
Grüße
reverend
PS: Übrigens gibts hier gerade die gleiche Aufgabe, ist aber auch noch nicht weiter gediehen. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Mi 15.05.2013 | | Autor: | Trikolon |
Naja, weiß nicht ganz wie ich das richtig formulieren soll, die „18“ wir doch durch die Translation geleistet und der Rest durch die Matrix, oder? Aber wie bestimmt man diese?
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Hallo,
hast du meinen letzten Post ganz gelesen?
> Naja, weiß nicht ganz wie ich das richtig formulieren
> soll, die „18“ wir doch durch die Translation geleistet
Da sollte es gar keine 18 geben! Wenn Du an dieser Stelle eine 6 meinst, stimmt das allerdings.
> und der Rest durch die Matrix, oder? Aber wie bestimmt man
> diese?
Die Matrix soll das Vorzeichen des [mm] $x_3$-Werts [/mm] umkehren. Wie muss sie dafür aussehen? Und was heißt orthogonal? Diese Matrix müsstest Du einfach so aufschreiben können; da gibts nichts zu rechnen.
Übrigens ist es durchaus erheblich, ob die Translation vor oder nach der Anwendung der Matrizenoperation kommt. Überleg mal, warum. Die Richtung der Translation ist im einen Fall umgekehrt zu der des anderen Falls.
Grüße
reverend
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Ja, klar, sorry. Meinte natürlich, dass die 6 durch die Translation geleistet wird. Wie ist das zu verstehen? Hat man dann [mm] \pi [/mm] = 6 [mm] \circ L_{A} [/mm] ? Wobei A die Matrix ist, die ich noch bestimmen muss?
Woher weiß man denn dass die Matrix das VZ des [mm] x_3 [/mm] - Wertes umkehren muss?
Orthogonal heiß ja, dass die Matrix det = +/-1 haben muss und dass gelten muss: [mm] A^{T} [/mm] = [mm] A^{-1} [/mm] und die einzelnen Vektoren in der Matrix sind paarweise orthogonal.
z.B. dann so A= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & -1}, [/mm] oder wie?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Mi 15.05.2013 | | Autor: | Trikolon |
Und noch eine Frage dazu:
Wie zeige ich denn dass es sich bei [mm] \pi [/mm] um eine euklidische Bewegung handelt? Ich muss ja zeigen || [mm] \pi(x) [/mm] - [mm] \pi [/mm] (y) || = ||x-y||
Muss man dazu den Abstand vom Punkt [mm] (x_1 |x_2 |6-x_3) [/mm] (also vom ermittelten Spiegelpunkt) zur Ebene E bestimmen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:54 Do 16.05.2013 | | Autor: | hippias |
> Und noch eine Frage dazu:
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> Wie zeige ich denn dass es sich bei [mm]\pi[/mm] um eine euklidische
> Bewegung handelt? Ich muss ja zeigen || [mm]\pi(x)[/mm] - [mm]\pi[/mm] (y) ||
> = ||x-y||
> Muss man dazu den Abstand vom Punkt [mm](x_1 |x_2 |6-x_3)[/mm]
> (also vom ermittelten Spiegelpunkt) zur Ebene E bestimmen?
Nein. Wie Du siehst, musst Du $|| [mm] \pi(x) [/mm] - [mm] \pi [/mm] (y) ||$ und $|| x - y||$ vergleichen. Abstaende zu Ebenen tauchen hier nicht auf.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Do 16.05.2013 | | Autor: | Trikolon |
Und was muss man dann vergleichen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Do 16.05.2013 | | Autor: | hippias |
> Und was muss man dann vergleichen?
Wie bereits gesagt: Ob [mm] $||\pi(x)-\pi(y)||$ [/mm] und $||x-y||$ fuer alle $x,y$ gleich ist oder nicht.
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Ja, klar. Aber was muss man denn für [mm] \pi(x) [/mm] einsetzen? Stimmt überhaupt die Matrix die ich angegeben hatte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:18 Fr 17.05.2013 | | Autor: | hippias |
> Ja, klar. Aber was muss man denn für [mm]\pi(x)[/mm] einsetzen?
> Stimmt überhaupt die Matrix die ich angegeben hatte?
Laut Aufgabenstellung ist [mm] $x\in [/mm] V$ und [mm] $\pi$ [/mm] die Spiegelung an der Ebene $E$; ich hatte Dir ja schon den Tip gegeben Dir zu ueberlegen, wie Punkte an dieser Ebene gespiegelt werden. Ob die Matrix stimmt, weiss ich nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:43 Fr 17.05.2013 | | Autor: | Trikolon |
Wie ein gespiegelter Punkt aussieht, habe ich doch schon längst in einem früheren Post geschrieben...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:44 Fr 17.05.2013 | | Autor: | hippias |
Dann berechne doch [mm] $||\pi(x)-\pi(y)||$, [/mm] und ebenso $||x-y||$, und vergleiche.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 So 19.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:47 Do 16.05.2013 | | Autor: | Trikolon |
Liege ich mit diesen Angaben richtig?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Fr 17.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mi 15.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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