Spiegelung an Ebene in R^3 < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Mi 15.05.2013 | | Autor: | woohoo |
| Aufgabe | Sei V der Anschauungsraum [mm] \IR^3 [/mm] und E die Ebene
E = [mm] \{ \vektor{1 \\ 2 \\ 3} + \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 0} + \mu \vektor{-1 \\ 1 \\ 0} | \lambda, \mu \in \IR \}.
[/mm]
Sei [mm] \phi:V \to [/mm] V die Abbildung die einen Punkt x an der Ebene E spiegelt. Zeigen sie, dass [mm] \phi [/mm] eine euklidische Bewegung ist und bestimmen sie die Translation T:V [mm] \to [/mm] V und eine orthogonale Matrix A [mm] \in O_3(\IR), [/mm] so dass [mm] \phi [/mm] = T [mm] \circ L_A [/mm] gilt. |
Das eine Spiegelung an der Ebene Abstandserhaltend ist verstehe ich, jedoch verstehe ich nicht warum ich fuer eine Spiegelung eine Translation UND eine orthogonale Matrix A brauche. Sollte eine Translation alleine nicht reichen? Mit welchem Verfahren kann ich so eine Matrix A bestimmen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo woohoo, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
natürlich genügt eine Translation nicht.
> Sei V der Anschauungsraum [mm]\IR^3[/mm] und E die Ebene
> E = [mm]\{ \vektor{1 \\ 2 \\ 3} + \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 0} + \mu \vektor{-1 \\ 1 \\ 0} | \lambda, \mu \in \IR \}.[/mm]
Diese spannende Ebene ist parallel zur x,y-Ebene, hier nur mit dem z-Wert 3.
> Sei [mm]\phi:V \to[/mm] V die Abbildung die einen Punkt x an der
> Ebene E spiegelt. Zeigen sie, dass [mm]\phi[/mm] eine euklidische
> Bewegung ist und bestimmen sie die Translation T:V [mm]\to[/mm] V
> und eine orthogonale Matrix A [mm]\in O_3(\IR),[/mm] so dass [mm]\phi[/mm] =
> T [mm]\circ L_A[/mm] gilt.
>
> Dass eine Spiegelung an der Ebene Abstandserhaltend ist
> verstehe ich, jedoch verstehe ich nicht warum ich fuer eine
> Spiegelung eine Translation UND eine orthogonale Matrix A
> brauche. Sollte eine Translation alleine nicht reichen?
Eine ![[]](/images/popup.gif) Translation kann nicht das leisten, das eine Spiegelung leistet. Bei einer Spiegelung werden Punkte ja verschieden weit "verschoben"; genauer: der Abstand zwischen einem Punkt und seinem Bild ist nicht für alle Punkte gleich.
> Mit
> welchem Verfahren kann ich so eine Matrix A bestimmen?
Ein Punkt [mm] (x,y,z)^T [/mm] wird durch die geforderte Spiegelung abgebildet auf [mm] (x,y,6-z)^T. [/mm] (korrigiert; sorry)
Überleg Dir, welchen Anteil dieser Abbildung die Translation leistet und welchen die orthogonale Matrix, dann kannst Du sie mit diesen Angaben leicht bestimmen.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 Mi 15.05.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
ich habe vorhin in der Eile des Gefechts einen Fehler eingebaut, jetzt aber korrigiert.
Übrigens gibts hier gerade die gleiche Aufgabe, aber auch noch ohne Lösung.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Do 16.05.2013 | | Autor: | woohoo |
Vielen Danke fuer den link zum anderen post. Damit habe ich das meiste verstanden, jedoch bin ich mir noch nicht so ganz im klaren darueber wie man darauf kommt, dass $ [mm] (x,y,6-z)^T. [/mm] $ die Spiegelung ist, denn normalerweise kannte ich es so, dass eine Ebene durch eine Gleichung gegeben war wie zum Beispiel
$ [mm] \{ \vektor{1 \\ 2 \\ 3} + \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 0} + \mu \vektor{-1 \\ 1 \\ 0} =0 | \lambda, \mu \in \IR \}. [/mm] $, aber das ist hier ja nicht der Fall.
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Hallo woohoo,
das widerspricht sich doch nicht.
> Vielen Danke fuer den link zum anderen post. Damit habe ich
> das meiste verstanden, jedoch bin ich mir noch nicht so
> ganz im klaren darueber wie man darauf kommt, dass
> [mm](x,y,6-z)^T.[/mm] die Spiegelung ist, denn normalerweise kannte
> ich es so, dass eine Ebene durch eine Gleichung gegeben war
> wie zum Beispiel
> [mm]\{ \vektor{1 \\ 2 \\ 3} + \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 0} + \mu \vektor{-1 \\ 1 \\ 0} =0 | \lambda, \mu \in \IR \}. [/mm],
> aber das ist hier ja nicht der Fall.
Doch, die Ebene ist immer noch die gleiche geblieben. Man könnte sie aber viel leichter so beschreiben:
[mm] E:\;\;z=3
[/mm]
Das ist auch die gleiche Ebene. Wenn man nun einen Punkt an ihr spiegelt, dann bleiben dessen x- und y-Koordinate erhalten. Um die z-Koordinate nun an der "3" zu spiegeln (auf z'), muss man ja folgendes berechnen: z'=3-(z-3). Und das ergibt halt z'=6-z.
Grüße
reverend
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