Signum einer Permutation < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:09 Do 08.04.2010 | | Autor: | Schmetterfee |
| Aufgabe | Meine Aufgabe ist es, dass Korollar: " Ist [mm] \pi \in S_{n} [/mm] darstellbar als ein Produkt von s Transpositionen, so gilt sgn [mm] \pi [/mm] = [mm] (-1)^{s}.
[/mm]
Dieses Korollar soll ich nun mit hilfe von Satz 7 beweisen. Dieser Satz besagt: " Die Abbildung sgn: [mm] S_{n} \to [/mm] {1,-1} ist ein Gruppenhomomorphismus, d.h. es gilt sgn [mm] (\sigma \circ \tau) [/mm] = sgn [mm] \sigma [/mm] * sgn [mm] \tau [/mm] für [mm] \sigma [/mm] , [mm] \tau \in S_{n} [/mm] |
hallo
ich habe mir Gedanken zu diesem Beweis gemacht jedoch ist meiner eher beispielhaft...deswegen wollte ich nachfragen ob ich diesen Ansatz überhaupt weiter verwenden kann:
Sei [mm] \pi \in S_{n} [/mm] darstellbar als ein Produkt aus Transpositionen [mm] \sigma [/mm] , [mm] \tau \in S_{n}. [/mm] Laut Satz 7 liegt ein Gruppenhomomorphismus von sgn: [mm] S_{n} \to [/mm] {1,-1} vor, d.h. sgn [mm] \pi \to [/mm] {1,-1}.
Da sich die Permutation [mm] \pi [/mm] als ein Produkt von [mm] \sigma, \tau \in S_{n} [/mm] darstellen lässt, lässt sich folglich sgn [mm] \pi [/mm] = sgn [mm] \sigma [/mm] * sgn [mm] \tau [/mm] darstellen. Da das Signum von Transpositionen stets -1 beträgt, bedeutet dies sgn [mm] \pi [/mm] = sgn [mm] \sigma [/mm] * sgn [mm] \tau [/mm] = -1 * -1= [mm] (-1)^{2}=1
[/mm]
so dieser beweis ist ja eher beispielhaft kann mir jemand einen tipp geben an welcher stelle ich das allgemeiner machen muss?...wäre es auch hilfreich die allgemeine formel für sgn [mm] \pi [/mm] zu verwenden also:
[mm] \produkt_{1 \le i < j \le n} \bruch{\pi (j) - \pi (i)}{j-i} [/mm] zu verwenden?..ich wäre über jeden hinweis sehr dankbar
LG Schmetterfee
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 11:27 Fr 09.04.2010 | | Autor: | Schmetterfee |
Oder ist es geschickter eine Induktion zu verwenden?..aber kann ich diese überhaupt mit Satz 7 verbinden?
LG Schmetterfee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:53 Fr 09.04.2010 | | Autor: | Arcesius |
Schau ma hier
Die Frage wurde zwar noch nicht als richtig markiert oder beantwortet, aber dieser Weg scheint mir richtig zu sein.
Grüsse, Amaro
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aber in dem Induktionsbeweis wird gar nicht der Satz verwendet den wir nutzen sollen von daher kann das nicht ganz richtig sein...ich weiß nur nicht ob das in den beweis evtl. mit rein muss...
LG Schmetterfee
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Doch, der Satz wird verwendet.
[mm] sgn(\pi\circ\lambda) [/mm] = [mm] sgn(\pi)*sgn(\lambda) [/mm] = (-1)*(-1) = [mm] (-1)^{2} [/mm] = 1.
Jetzt verwendest du die Komposition s mal und unterscheidest, ob s gerade oder ungerade ist.
[mm] \underline{s \ gerade:} [/mm]
Dann lässt sich s schreiben als s = 2n für ein n [mm] \in \IN_{>0}
[/mm]
Dann ist für [mm] \pi [/mm] = [mm] \lambda_{1}\circ\lambda_{2}\circ...\circ\lambda_{2n}:
[/mm]
[mm] sgn(\pi) [/mm] = [mm] sgn(\lambda_{1})*...*sgn(\lambda_{2n}) [/mm] = [mm] (-1)^{2n} [/mm] = [mm] (-1)^{s} [/mm] = 1
Das gleiche Spiel machste dann für s ungerade...
Grüsse, Amaro
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Dann gilt doch für den Induktionsschritt bei s ungearde:
s=2n+1
Dann ist [mm] \pi= \lambda_{1} \circ [/mm] ... [mm] \circ \lambda_{2n+1}
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] sgn(\pi) [/mm] = [mm] sgn(\lambda_{1} \circ [/mm] ... [mm] \circ \lambda_{2n+1})=sgn(\lambda_{1})*...* sgn(\lambda_{2n+1})= (-1)^{2n+1}=-1
[/mm]
Das wär dann doch der induktionsschritt und das bedies zusammen reicht doch für den beweis, weiol dann hab ich gezeigt das die Formel sowohl für eine gerade als auch für eine ungerade anzahl s gilt.
LG Schmetterfee
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Hallo
> Dann gilt doch für den Induktionsschritt bei s ungearde:
> s=2n+1
> Dann ist [mm]\pi= \lambda_{1} \circ[/mm] ... [mm]\circ \lambda_{2n+1}[/mm]
>
> Daraus folgt:
> [mm]sgn(\pi)[/mm] = [mm]sgn(\lambda_{1} \circ[/mm] ... [mm]\circ \lambda_{2n+1})=sgn(\lambda_{1})*...* sgn(\lambda_{2n+1})= (-1)^{2n+1}=-1[/mm]
>
> Das wär dann doch der induktionsschritt und das bedies
> zusammen reicht doch für den beweis, weiol dann hab ich
> gezeigt das die Formel sowohl für eine gerade als auch
> für eine ungerade anzahl s gilt.
Naja, meiner Meinung nach musst du das nicht mit Induktion beweisen, sondern für ein allgemeines s. Und das machst du, indem du s = 2n bzw. s = 2n+1 setzt (wie du gemacht hast). Man muss das nicht vorher für s = 2 oder s = 1 oder so zeigen.
>
> LG Schmetterfee
Grüsse, Amaro
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okay dann brauch ich keine induktion..zeig das nur allgemein für s gerade und s ungerade und dann reicht das schon?..denn is das ja nur so wenig??
LG Schmetterfee
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Hallo,
> okay dann brauch ich keine induktion..zeig das nur
> allgemein für s gerade und s ungerade und dann reicht das
> schon?..denn is das ja nur so wenig??
Das ist doch schön 
Naja, eine nat. Zahl $s$ kann ja nur entweder gerade oder ungerade sein.
Und für beide Fälle steht im thread ein Beweis.
Also bist du "durch".
Du kannst ja die beiden Teilbeweise durch eine Iduktion schön verpacken.
Aber nur, wenn du zuviel Tagesfreizeit hast
>
> LG Schmetterfee
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 Fr 09.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Du kannst ja die beiden Teilbeweise durch eine Iduktion
> schön verpacken.
>
> Aber nur, wenn du zuviel Tagesfreizeit hast
Ind.Anf.: 0 Tranpositionen ergibt e, also 1.
Ind.schritt: Sei p eine Permutation, die sich aus s Transposition darstellen lässt, OBdA sei dabei eine Darstellung [m]p=h*\tau[/m] gegeben mit h besteht aus s-1 Transpositionen und [m]\tau[/m] ist Transposition. Dann gilt nach Induktion [m]\pi(h*\tau*\tau)=\pi(h)=(-1)^{s-1}[/m], also [m]\pi(p)*\pi(\tau)=\pi(p)*-1=(-1)^{s-1}[/m], also die Beh.
Die Aufgabe ist banal - sie in gerade und gerade Länge zu unterteilen ist schon zu viel Aufwand imo.
SEcki
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> > Du kannst ja die beiden Teilbeweise durch eine Iduktion
> > schön verpacken.
> >
> > Aber nur, wenn du zuviel Tagesfreizeit hast
>
> Ind.Anf.: 0 Tranpositionen ergibt e, also 1.
>
> Ind.schritt: Sei p eine Permutation, die sich aus s
> Transposition darstellen lässt, OBdA sei dabei eine
> Darstellung [m]p=h*\tau[/m] gegeben mit h besteht aus s-1
> Transpositionen und [m]\tau[/m] ist Transposition. Dann gilt nach
> Induktion [m]\pi(h*\tau*\tau)=\pi(h)=(-1)^{s-1}[/m],
Diesen schritt versteh ich nicht ganz warum nimmst du [mm] 2*\tau [/mm] und kürzt die damit weg?
> also
> [m]\pi(p)*\pi(\tau)=\pi(p)*-1=(-1)^{s-1}[/m], also die Beh.
>
> Die Aufgabe ist banal - sie in gerade und gerade Länge zu
> unterteilen ist schon zu viel Aufwand imo.
>
> SEcki
LG Schmetterfee
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oder soll das zweite ein [mm] \tau^{-1} [/mm] sein dann würde es ja auch noch logisch sein?
LG Schmetterfee
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Hallo
> oder soll das zweite ein [mm]\tau^{-1}[/mm] sein dann würde es ja
> auch noch logisch sein?
Das ist in diesem Fall das gleiche.
Die Ordnung einer Transposition ist 2, das bedeutet, wenn [mm] \tau [/mm] eine Transposition ist, dann ist [mm] |<\tau>| [/mm] = 2 und somit [mm] \tau^{2} [/mm] = id. Somit gilt [mm] \tau [/mm] = [mm] \tau^{-1}
[/mm]
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> LG Schmetterfee
Grüsse, Amaro
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