Rekursive Folge < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] (a_n) [/mm] eine rekursiv definierte Folge mit [mm] a_1:=1 [/mm] und [mm] a_{n+1}:=\bruch{a_n+2}{a_n+1}. [/mm] Zeige, dass die Folge konvergiert. |
Hallo. Ich möchte zeigen, dass die Folge gegen [mm] \wurzel[]{2} [/mm] konvergiert. Bisher musste ich für Konvergenz rekursiver Folgen stets zeigen, dass die Folge beschränkt und monoton ist. Wenn mich nicht alles täuscht, pendelt die Folge aber um den Grenzwert [mm] \wurzel[]{2}, [/mm] das heißt, entweder ist sie erst ab einem bestimmten [mm] n\in\IN [/mm] monoton, oder es gibt 2 Teilfolgen, wobei sich eine von oben und eine von unten an [mm] \wurzel[]{2} [/mm] annähert. Jedenfalls ist [mm] (a_n) [/mm] nicht monoton.
Was ich nun zeigen möchte ist:
1) [mm] a_n<\wurzel[]{2}\Rightarrow a_n
2) [mm] a_n>\wurzel[]{2}\Rightarrow a_n>a_{n+1}
[/mm]
1) Bew. durch vollst. Induktion
IA: n=1
[mm] a_1=1<\wurzel[]{2}<3/2=a_2 [/mm] wahr
IV: Sei [mm] n\in\IN [/mm] beliebig aber fest, s.d. gilt [mm] a_n<\wurzel[]{2}
[/mm]
IS: n [mm] \Rightarrow [/mm] n+1
Es gilt also
[mm] a_n<\wurzel[]{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_n^{2}<2
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_n^{2}+a_n<2+a_n
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_n^{2}+a_n<2+a_n |:(a_n+1)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{a_n(a_n+1)}{a_n+1}<\bruch{2+a_n}{a_n+1}=a_{n+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_n
2) geht dann analog. Die Relations < dreht sich dann überall um.
Meine Frage dazu: Ist das so korrekt? Das Problem ist, dass wenn [mm] a_n\wurzel[]{2} \Rightarrow a_{n+1}
Grüße, kulli
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:27 Do 02.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
was du eigentlich zeigen willst; [mm] a_n<\wurzel{2}=> a_{n+1}>\wurzel{2}
[/mm]
und [mm] |a_n-\wurzel{2}|<|a_{n+2}-\wurzel{2}|
[/mm]
dann hast du ne Intervallschachtelung.
oder [mm] |a_n-\wurzel{2}|<|a_{n+1}-\wurzel{2}|
[/mm]
Gruss leduart
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Ja, das will ich schon zeigen, aber ist es nicht egal, ob ich nun zeige:
[mm] a_n<\wurzel[]{2} \Rightarrow a_{n+1}>\wurzel[]{2} [/mm]
oder [mm] a_n<\wurzel[]{2} \Rightarrow a_{n+1}>a_n [/mm] (so wie ich es versucht habe)
kommt doch aufs selbe hinaus, denn beim Folgeglied [mm] a_{n+2} [/mm] wird ja dann neu entschieden ob [mm] a_{n+2}a_{n+1}, [/mm] je nachdem, ob [mm] a_{n+1}>\wurzel[]{2} [/mm] oder [mm] a_{n+1}<\wurzel[]{2}.
[/mm]
Auf diese Weise zeige ich ja auch, dass sich die Folge immer weiter an [mm] \wurzel[]{2} [/mm] annähert.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Do 02.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja, das will ich schon zeigen, aber ist es nicht egal, ob
> ich nun zeige:
>
> [mm]a_n<\wurzel[]{2} \Rightarrow a_{n+1}>\wurzel[]{2}[/mm]
>
> oder [mm]a_n<\wurzel[]{2} \Rightarrow a_{n+1}>a_n[/mm] (so wie ich
> es versucht habe)
dieses "pendeln um [mm] $\sqrt{2}$" [/mm] alleine reicht nicht. Die Folge [mm] $(b_n)_n$ [/mm] definiert duch
[mm] $$b_n:=(-1)^n$$
[/mm]
"pendelt um viele Werte herum" (z.B. um jeden Wert $x [mm] \in [/mm] ]-1,1[$), dennoch divergiert sie.
Ob Leduart's Vorschlag, zudem noch [mm] $|a_n-\sqrt{2}| [/mm] < [mm] |a_{n+2}-\sqrt{2}|$ [/mm] nachzuweisen, alleine schon ausreicht, um dann das Intervallschachtelungsprinzip auszunutzen, habe ich mir noch nicht überlegt. Aber das Stichwort ist sicher richtig, und wenn Du Dir in meiner anderen Antwort den kleinen Beweis zu dem eigen konstruierten Beispiel anguckst, siehst Du, dass ich dieses Prinzip da eigentlich auch mal verwende!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Do 02.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Kulli,
das, was Leduart gesagt hat, mal ein wenig anders formuliert:
Bist Du Dir erstmal sicher, dass das, was Du zeigen willst ,auch hinreichend für Deine Behauptung ist?
Ich meine, es ist toll, eine Eigenschaft einer Folge nachzuweisen - noch toller ist's aber, wenn diese "auch etwas bringt".
Aber mal was anderes:
Kennst Du nicht den Satz, dass eine Folge genau dann konvergiert, wenn jede Ihrer Teilfolgen konvergiert?
Bzw. eine noch einfachere Variante davon: Eine Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] konvergiert genau dann, wenn es zwei Teilfolgen [mm] $(a_{n^{(1)}_k})_{k \in \IN}$ [/mm] und [mm] $(a_{n^{(2)}_k})_{k \in \IN}$ [/mm] gibt, so dass diese beiden Teilfolgen gegen den gleichen Wert konvergieren UND so, dass die folgende Vereinigung
[mm] $$V:=\{n^{(1)}_k: k \in \IN\} \cup \{n^{(2)}_k: k \in \IN\}$$
[/mm]
mit [mm] $\IN$ [/mm] übereinstimmt, also [mm] $V=\IN$ [/mm] gilt.
Sowas kann helfen, ich mache es Dir mal an einem einfachen Beispiel vor:
Wir betrachten
[mm] $$a_n:=\begin{cases} 1+\frac{1}{n}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 1-\frac{1}{n}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}\,.$$
[/mm]
Du kannst hier sehen: [mm] $(a_{2k})_{k \in \IN}$ [/mm] ist wegen
[mm] $$a_{2k}=1+\frac{1}{2k}$$
[/mm]
offenbar konvergent gegen [mm] $1\,.$ [/mm] (Selbst, wenn der GW nicht so offensichtlich wäre, kann man hier leicht sehen: [mm] $(a_{2k})_k$ [/mm] ist durch [mm] $1\,$ [/mm] nach unten beschränkt und monoton fallend, daher konvergent).
Weiter ist [mm] $(a_{2k-1})_{k \in \IN}$ [/mm] wegen
[mm] $$a_{2k-1}=1-\frac{1}{2k-1}$$
[/mm]
offenbar (monoton wachsend, durch [mm] $1\,$ [/mm] nach oben beschränkt sowie) konvergent gegen [mm] $1\,.$
[/mm]
Wegen [mm] $n^{(1)}_k=2k$ [/mm] und [mm] $n^{(2)}_k=2k-1$ [/mm] erhalten wir
[mm] $$V=\{n^{(1)}_k: k \in \IN\} \cup \{n^{(2)}_k: k \in \IN\}=\{2k: k \in \IN\} \cup \{2k-1: k \in \IN\}=\{2,4,6,8,10,12,\ldots\} \cup \{1,3,5,7,9,11,\ldots\}=\IN\,.$$
[/mm]
Daher folgt [mm] $a_n \to 1\,.$
[/mm]
Beachte aber: Wenn Du den von mir hier formulierten Satz in der "Rückrichtung" benutzt:
Du musst nicht nur zeigen, dass beide Teilfolgen konvergieren (oben würde man das etwa alleine durch die "Monotonie und Beschränktheitseigenschaft" einer jeder der beiden Teilfolgen schon erreichen), die "Vereinigung über die Teilfolgenindizes der beiden Teilfolgen mit [mm] $\IN$ [/mm] übereinstimmt" - sondern auch noch, dass der Grenzwert der beiden Teilfolgen der gleiche ist. Irgendwie ist das letztere auch klar, wenn man an
[mm] $$(b_n)_{n \in \IN}\equiv (-1,1,-1,1,-1,1,-1,\ldots)\,,$$
[/mm]
also [mm] $b_n:=(-1)^n$ [/mm] denkt!
Oben könnte man also (mit den von mir definierten [mm] $a_n$) [/mm] auch so argumentieren:
[mm] $(a_{n^{(1)}_k})_k$ [/mm] und [mm] $(a_{n^{(2)}_k})_k$ [/mm] sind jeweils wegen entsprechender Monotonie und Beschränktheitseigenschaft konvergent (tun wir mal so, als wüßten wir nicht, wogegen sie konvergieren). Die Vereinigung [mm] $V\,$ [/mm] von oben erfüllt, wie bereits gesehen, [mm] $V=\IN\,.$ [/mm] Wir zeigen, dass die Grenzwerte übereinstimmen:
Konvergiere [mm] $(a_{n^{(1)}_k})_k$ [/mm] gegen [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $(a_{n^{(2)}_k})_k$ [/mm] gegen [mm] $b\,.$
[/mm]
Dann folgt wegen
$$|a-b| [mm] \le |a-a_{n^{(1)}_k}|+|a_{n^{(1)}_k}-a_{n^{(2)}_k}|+|b-a_{n^{(2)}_k}|$$
[/mm]
$|a-b|=0$ bei $k [mm] \to \infty$ [/mm] (dazu muss man nur beim Summanden [mm] $|a_{n^{(1)}_k}-a_{n^{(2)}_k}|$ [/mm] mal "die die Teilfolge definierende Gleichung" einsetzen),
und damit [mm] $a=b\,.$ [/mm] Du siehst: Selbst ohne Kenntnis des Grenzwertes (der ja offensichtlich war) hätten wir so alleine die Konvergenz der Folge anhand dieser beiden Teilfolgen erkannt!
Aber diese Idee musst Du nicht zwangsläufig weiterverfolgen - sie sei aber erwähnt, falls es Dich interessiert, können wir gerne nochmal drüber diskutieren bzw. dann kannst Du auch nochmal nachfragen!
Gruß,
Marcel
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> Hallo Kulli,
Hallo, Marcel
> das, was Leduart gesagt hat, mal ein wenig anders
> formuliert:
> Bist Du Dir erstmal sicher, dass das, was Du zeigen willst
> ,auch hinreichend für Deine Behauptung ist?
Das sollte eigentlich nur die Basis sein auf der ich später argumentiere.
> Ich meine, es ist toll, eine Eigenschaft einer Folge
> nachzuweisen - noch toller ist's aber, wenn diese "auch
> etwas bringt".
>
> Aber mal was anderes:
> Kennst Du nicht den Satz, dass eine Folge genau dann
> konvergiert, wenn jede Ihrer Teilfolgen konvergiert?
Ich erinnere mich zumindest an die einfachere Variante
> Bzw. eine noch einfachere Variante davon: Eine Folge
> [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] konvergiert genau dann, wenn es zwei
> Teilfolgen [mm](a_{n^{(1)}_k})_{k \in \IN}[/mm] und
> [mm](a_{n^{(2)}_k})_{k \in \IN}[/mm] gibt, so dass diese beiden
> Teilfolgen gegen den gleichen Wert konvergieren UND so,
> dass die folgende Vereinigung
> [mm]V:=\{n^{(1)}_k: k \in \IN\} \cup \{n^{(2)}_k: k \in \IN\}[/mm]
>
> mit [mm]\IN[/mm] übereinstimmt, also [mm]V=\IN[/mm] gilt.
>
> Sowas kann helfen, ich mache es Dir mal an einem einfachen
> Beispiel vor:
> Wir betrachten
> [mm]a_n:=\begin{cases} 1+\frac{1}{n}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 1-\frac{1}{n}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}\,.[/mm]
>
> Du kannst hier sehen: [mm](a_{2k})_{k \in \IN}[/mm] ist wegen
> [mm]a_{2k}=1+\frac{1}{2k}[/mm]
> offenbar konvergent gegen [mm]1\,.[/mm] (Selbst, wenn der GW nicht
> so offensichtlich wäre, kann man hier leicht sehen:
> [mm](a_{2k})_k[/mm] ist durch [mm]1\,[/mm] nach unten beschränkt und monoton
> fallend, daher konvergent).
>
> Weiter ist [mm](a_{2k-1})_{k \in \IN}[/mm] wegen
> [mm]a_{2k-1}=1-\frac{1}{2k-1}[/mm]
> offenbar (monoton wachsend, durch [mm]1\,[/mm] nach oben
> beschränkt sowie) konvergent gegen [mm]1\,.[/mm]
>
> Wegen [mm]n^{(1)}_k=2k[/mm] und [mm]n^{(2)}_k=2k-1[/mm] erhalten wir
> [mm]V=\{n^{(1)}_k: k \in \IN\} \cup \{n^{(2)}_k: k \in \IN\}=\{2k: k \in \IN\} \cup \{2k-1: k \in \IN\}=\{2,4,6,8,10,12,\ldots\} \cup \{1,3,5,7,9,11,\ldots\}=\IN\,.[/mm]
>
> Daher folgt [mm]a_n \to 1\,.[/mm]
Interessant.. aber ich bin mir nicht sicher wie ich das auf meine Aufgabe übertragen soll. Schliesslich weiß ich nicht genau, ob es z.B. 2 Teilfolgen von [mm] (a_n) [/mm] gibt, wobei die eine für gerade [mm] n\in\IN [/mm] immer < [mm] \wurzel[]{2} [/mm] und die andere für ungerade [mm] n\in\IN [/mm] immer > [mm] \wurzel[]{2} [/mm] ist. Sollte ich das mit Induktion zeigen? Wenn das gezeigt wäre, wäre es auch kein Problem die Beschränktheit und Monotonie und damit den GW [mm] \wurzel[]{2} [/mm] zu zeigen.
> Beachte aber: Wenn Du den von mir hier formulierten Satz in
> der "Rückrichtung" benutzt:
> Du musst nicht nur zeigen, dass beide Teilfolgen
> konvergieren (oben würde man das etwa alleine durch die
> "Monotonie und Beschränktheitseigenschaft" einer jeder der
> beiden Teilfolgen schon erreichen), die "Vereinigung über
> die Teilfolgenindizes der beiden Teilfolgen mit [mm]\IN[/mm]
> übereinstimmt" - sondern auch noch, dass der Grenzwert der
> beiden Teilfolgen der gleiche ist. Irgendwie ist das
> letztere auch klar, wenn man an
> [mm](b_n)_{n \in \IN}\equiv (-1,1,-1,1,-1,1,-1,\ldots)\,,[/mm]
> also
> [mm]b_n:=(-1)^n[/mm] denkt!
>
> Oben könnte man also (mit den von mir definierten [mm]a_n[/mm])
> auch so argumentieren:
> [mm](a_{n^{(1)}_k})_k[/mm] und [mm](a_{n^{(2)}_k})_k[/mm] sind jeweils wegen
> entsprechender Monotonie und Beschränktheitseigenschaft
> konvergent (tun wir mal so, als wüßten wir nicht, wogegen
> sie konvergieren). Die Vereinigung [mm]V\,[/mm] von oben erfüllt,
> wie bereits gesehen, [mm]V=\IN\,.[/mm] Wir zeigen, dass die
> Grenzwerte übereinstimmen:
> Konvergiere [mm](a_{n^{(1)}_k})_k[/mm] gegen [mm]a\,[/mm] und
> [mm](a_{n^{(2)}_k})_k[/mm] gegen [mm]b\,.[/mm]
>
> Dann folgt wegen
> [mm]|a-b| \le |a-a_{n^{(1)}_k}|+|a_{n^{(1)}_k}-a_{n^{(2)}_k}|+|b-a_{n^{(2)}_k}|[/mm]
>
> [mm]|a-b|=0[/mm] bei [mm]k \to \infty[/mm] (dazu muss man nur beim Summanden
> [mm]|a_{n^{(1)}_k}-a_{n^{(2)}_k}|[/mm] mal "die die Teilfolge
> definierende Gleichung" einsetzen),
> und damit [mm]a=b\,.[/mm] Du siehst: Selbst ohne Kenntnis des
> Grenzwertes (der ja offensichtlich war) hätten wir so
> alleine die Konvergenz der Folge anhand dieser beiden
> Teilfolgen erkannt!
Das ist wirklich eine gute Idee, die werde ich mir merken. Und die Voraussetzung ist, dass die Vereinigung von den Indizes der Teilfolgen [mm] \IN [/mm] ergibt? Angenommen ich würde den GW bei meiner Aufgabe nicht kennen, dann muss ich ja erstmal die Teilfolgen bestimmen, um sicherzustellen, dass die Vereinigung der Indizes [mm] \IN [/mm] ergibt. Also selbes Problem wie oben schon erwähnt. Ich bin mir ja gar nicht sicher, ob es 2 Teilfolgen gibt, wobei die eine immer oberhalb und die andere immer unterhalb von [mm] \wurzel[]{2} [/mm] liegt...
> Aber diese Idee musst Du nicht zwangsläufig
> weiterverfolgen - sie sei aber erwähnt, falls es Dich
> interessiert, können wir gerne nochmal drüber diskutieren
> bzw. dann kannst Du auch nochmal nachfragen!
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Do 02.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast nur
) $ [mm] a_n<\wurzel[]{2}\Rightarrow a_n
bisher, nicht dass [mm] a_{n+1}>\wurzel{2}
[/mm]
wenn du das hast kannst du die folge [mm] a_{2n+1} <\wurzel{2} [/mm] monoton steigend, und [mm] a_{2n}>\wurzel{2} [/mm] fallend haben und bist fertig.
gruss leduart
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Ich habe es versucht, es will mir aber nicht gelingen zwischen [mm] a_{n+1}>..>a_n [/mm] die Wurzel 2 zu stecken (wenn [mm] a_n<\wurzel[]{2})
[/mm]
Ob man noch einen Tipp entlocken könnte?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Do 02.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe es versucht, es will mir aber nicht gelingen
> zwischen [mm]a_{n+1}>..>a_n[/mm] die Wurzel 2 zu stecken (wenn
> [mm]a_n<\wurzel[]{2})[/mm]
>
> Ob man noch einen Tipp entlocken könnte?
das erste hier ist jetzt weniger eine Antwort auf Deine Frage, als vielmehr noch ein Hinweis, wie man "potentielle Grenzwertkandidaten" bei solchen Folgen findet:
Es war
[mm] $$a_{n+1}:=\bruch{a_n+2}{a_n+1}.$$
[/mm]
Wenn diese Folge gegen einen Wert [mm] $a\,$ [/mm] konvergiert, dann gilt ja auch
[mm] $$a_{n+1} \to 0\,.$$
[/mm]
Also bei $n [mm] \to \infty$
[/mm]
$$a [mm] \leftarrow a_{n+1}=\frac{a_n+2}{a_n+1} \to \frac{a+2}{a+1}\,.$$
Wegen der Eindeutigkeit des Grenzwertes gilt dann notwendigerweise
$$a=\frac{a+2}{a+1}\,,$$
also
$$a^2=2\,.$$
Damit wären nur $\pm \sqrt{2}$ überhaupt potentielle Kandidaten für den Grenzwert $a\,,$ falls dieser existiert.
Bevor wir hier nun aber groß mit Intervallschachtelungen etc. weitermachen (vielleicht will Leduart das noch zu Ende führen):
Eine andere Idee, mit der wir erstmal nur die Konvergenz der obigen Folge sehen könnten, wäre doch, zu prüfen, ob wir eine Cauchyfolge vorliegen haben.
Dazu kann man für $n,k \in \IN$ beliebig, aber fest, mal etwa
$$|a_{n+k}-a_n|$$
abschätzen, in der Hoffnung, dass wir (für jedes beliebige natürliche $k\,$) dann sehen, dass
$$|a_{n+k}-a_n| \to 0 \text{ bei }n \to \infty\,.$$
Damit würdest Du dann sehen, dass wir eine Cauchyfolge haben, $\IR$ ist vollständig, daher konvergiert diese in $\IR\,.$ Und dass dann nur noch $\sqrt{2}$ als Grenzwert der "potentiellen Kandidaten $\pm \sqrt{2}$" über bleibt, folgt dann wegen $a_n \ge 0$ für (fast alle) $n\,.$
Gruß,
Marcel
[/mm]
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> Hallo,
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> > Ich habe es versucht, es will mir aber nicht gelingen
> > zwischen [mm]a_{n+1}>..>a_n[/mm] die Wurzel 2 zu stecken (wenn
> > [mm]a_n<\wurzel[]{2})[/mm]
> >
> > Ob man noch einen Tipp entlocken könnte?
>
> das erste hier ist jetzt weniger eine Antwort auf Deine
> Frage, als vielmehr noch ein Hinweis, wie man "potentielle
> Grenzwertkandidaten" bei solchen Folgen findet:
> Es war
> [mm]a_{n+1}:=\bruch{a_n+2}{a_n+1}.[/mm]
> Wenn diese Folge gegen einen Wert [mm]a\,[/mm] konvergiert, dann
> gilt ja auch
> [mm]a_{n+1} \to 0\,.[/mm]
>
> Also bei [mm]n \to \infty[/mm]
> [mm]a \leftarrow a_{n+1}=\frac{a_n+2}{a_n+1} \to \frac{a+2}{a+1}\,.[/mm]
>
> Wegen der Eindeutigkeit des Grenzwertes gilt dann
> notwendigerweise
> [mm]a=\frac{a+2}{a+1}\,,[/mm]
> also
> [mm]a^2=2\,.[/mm]
>
> Damit wären nur [mm]\pm \sqrt{2}[/mm] überhaupt potentielle
> Kandidaten für den Grenzwert [mm]a\,,[/mm] falls dieser existiert.
ja, das war mir bekannt. Das ist immer das erste was ich bei Konvergenz rekursiver Folgen mache, um überhaupt schon mal eine Idee zu bekommen wo die Reise hingehen könnte  .
> Bevor wir hier nun aber groß mit Intervallschachtelungen
> etc. weitermachen (vielleicht will Leduart das noch zu Ende
> führen):
> Eine andere Idee, mit der wir erstmal nur die Konvergenz
> der obigen Folge sehen könnten, wäre doch, zu prüfen, ob
> wir eine Cauchyfolge vorliegen haben.
>
> Dazu kann man für [mm]n,k \in \IN[/mm] beliebig, aber fest, mal
> etwa
> [mm]|a_{n+k}-a_n|[/mm]
> abschätzen, in der Hoffnung, dass wir (für jedes
> beliebige natürliche [mm]k\,[/mm]) dann sehen, dass
> [mm]|a_{n+k}-a_n| \to 0 \text{ bei }n \to \infty\,.[/mm]
>
> Damit würdest Du dann sehen, dass wir eine Cauchyfolge
> haben, [mm]\IR[/mm] ist vollständig, daher konvergiert diese in
> [mm]\IR\,.[/mm] Und dass dann nur noch [mm]\sqrt{2}[/mm] als Grenzwert der
> "potentiellen Kandidaten [mm]\pm \sqrt{2}[/mm]" über bleibt, folgt
> dann wegen [mm]a_n \ge 0[/mm] für (fast alle) [mm]n\,.[/mm]
Die Idee mit der Cauchy- Folge ist sicherlich nicht schlecht. Ich muss aber ehrlich zugeben, dass ich (zumindest bei dieser Folge) keine Ahnung habe wie man das bei rekursiven Folgen zeigen kann. Man müsste ja ein [mm] N\in\IN [/mm] bestimmen, s.d. für n>N... Mir fehlt da wohl auch etwas die Übung drin, was wohl auch daran liegt, dass wir nicht einmal explizit zeigen sollten, ob bei gegebener Folge eine Cauchy- Folge vorliegt. Kommt sicher im 2. Semester!
> Gruß,
> Marcel
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> Hallo Kulli,
>
> das, was Leduart gesagt hat, mal ein wenig anders
> formuliert:
> Bist Du Dir erstmal sicher, dass das, was Du zeigen willst
> ,auch hinreichend für Deine Behauptung ist?
>
> Ich meine, es ist toll, eine Eigenschaft einer Folge
> nachzuweisen - noch toller ist's aber, wenn diese "auch
> etwas bringt".
>
> Aber mal was anderes:
> Kennst Du nicht den Satz, dass eine Folge genau dann
> konvergiert, wenn jede Ihrer Teilfolgen konvergiert?
>
> Bzw. eine noch einfachere Variante davon: Eine Folge
> [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] konvergiert genau dann, wenn es zwei
> Teilfolgen [mm](a_{n^{(1)}_k})_{k \in \IN}[/mm] und
> [mm](a_{n^{(2)}_k})_{k \in \IN}[/mm] gibt, so dass diese beiden
> Teilfolgen gegen den gleichen Wert konvergieren UND so,
> dass die folgende Vereinigung
> [mm]V:=\{n^{(1)}_k: k \in \IN\} \cup \{n^{(2)}_k: k \in \IN\}[/mm]
>
> mit [mm]\IN[/mm] übereinstimmt, also [mm]V=\IN[/mm] gilt.
Dazu habe ich noch eine Frage: Wenn ich eine Folge auf Häufungswerte untersuche und feststelle, dass es z.B. 3 Teilfolgen gibt mit drei verschiedenen Häufungswerten, muss man anschliessend ja noch begründen weshalb es keine weiteren Hw gibt. Wenn ich jetzt hier die Vereinigung der Indizes der 3 Teilfolgen betrachte und diese gleich [mm] \IN [/mm] ergeben, reicht diese Feststellung dann auch aus, um zu sagen, dass es keine weiteren Hw gibt? Das wäre eine bequeme Methode, die ich gerne in der Klausur verwenden würde.
Grüße, kulli
> Sowas kann helfen, ich mache es Dir mal an einem einfachen
> Beispiel vor:
> Wir betrachten
> [mm]a_n:=\begin{cases} 1+\frac{1}{n}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 1-\frac{1}{n}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}\,.[/mm]
>
> Du kannst hier sehen: [mm](a_{2k})_{k \in \IN}[/mm] ist wegen
> [mm]a_{2k}=1+\frac{1}{2k}[/mm]
> offenbar konvergent gegen [mm]1\,.[/mm] (Selbst, wenn der GW nicht
> so offensichtlich wäre, kann man hier leicht sehen:
> [mm](a_{2k})_k[/mm] ist durch [mm]1\,[/mm] nach unten beschränkt und monoton
> fallend, daher konvergent).
>
> Weiter ist [mm](a_{2k-1})_{k \in \IN}[/mm] wegen
> [mm]a_{2k-1}=1-\frac{1}{2k-1}[/mm]
> offenbar (monoton wachsend, durch [mm]1\,[/mm] nach oben
> beschränkt sowie) konvergent gegen [mm]1\,.[/mm]
>
> Wegen [mm]n^{(1)}_k=2k[/mm] und [mm]n^{(2)}_k=2k-1[/mm] erhalten wir
> [mm]V=\{n^{(1)}_k: k \in \IN\} \cup \{n^{(2)}_k: k \in \IN\}=\{2k: k \in \IN\} \cup \{2k-1: k \in \IN\}=\{2,4,6,8,10,12,\ldots\} \cup \{1,3,5,7,9,11,\ldots\}=\IN\,.[/mm]
>
> Daher folgt [mm]a_n \to 1\,.[/mm]
>
> Beachte aber: Wenn Du den von mir hier formulierten Satz in
> der "Rückrichtung" benutzt:
> Du musst nicht nur zeigen, dass beide Teilfolgen
> konvergieren (oben würde man das etwa alleine durch die
> "Monotonie und Beschränktheitseigenschaft" einer jeder der
> beiden Teilfolgen schon erreichen), die "Vereinigung über
> die Teilfolgenindizes der beiden Teilfolgen mit [mm]\IN[/mm]
> übereinstimmt" - sondern auch noch, dass der Grenzwert der
> beiden Teilfolgen der gleiche ist. Irgendwie ist das
> letztere auch klar, wenn man an
> [mm](b_n)_{n \in \IN}\equiv (-1,1,-1,1,-1,1,-1,\ldots)\,,[/mm]
> also
> [mm]b_n:=(-1)^n[/mm] denkt!
>
> Oben könnte man also (mit den von mir definierten [mm]a_n[/mm])
> auch so argumentieren:
> [mm](a_{n^{(1)}_k})_k[/mm] und [mm](a_{n^{(2)}_k})_k[/mm] sind jeweils wegen
> entsprechender Monotonie und Beschränktheitseigenschaft
> konvergent (tun wir mal so, als wüßten wir nicht, wogegen
> sie konvergieren). Die Vereinigung [mm]V\,[/mm] von oben erfüllt,
> wie bereits gesehen, [mm]V=\IN\,.[/mm] Wir zeigen, dass die
> Grenzwerte übereinstimmen:
> Konvergiere [mm](a_{n^{(1)}_k})_k[/mm] gegen [mm]a\,[/mm] und
> [mm](a_{n^{(2)}_k})_k[/mm] gegen [mm]b\,.[/mm]
>
> Dann folgt wegen
> [mm]|a-b| \le |a-a_{n^{(1)}_k}|+|a_{n^{(1)}_k}-a_{n^{(2)}_k}|+|b-a_{n^{(2)}_k}|[/mm]
>
> [mm]|a-b|=0[/mm] bei [mm]k \to \infty[/mm] (dazu muss man nur beim Summanden
> [mm]|a_{n^{(1)}_k}-a_{n^{(2)}_k}|[/mm] mal "die die Teilfolge
> definierende Gleichung" einsetzen),
> und damit [mm]a=b\,.[/mm] Du siehst: Selbst ohne Kenntnis des
> Grenzwertes (der ja offensichtlich war) hätten wir so
> alleine die Konvergenz der Folge anhand dieser beiden
> Teilfolgen erkannt!
>
> Aber diese Idee musst Du nicht zwangsläufig
> weiterverfolgen - sie sei aber erwähnt, falls es Dich
> interessiert, können wir gerne nochmal drüber diskutieren
> bzw. dann kannst Du auch nochmal nachfragen!
>
> Gruß,
> Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Do 02.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo Kulli,
> >
> > das, was Leduart gesagt hat, mal ein wenig anders
> > formuliert:
> > Bist Du Dir erstmal sicher, dass das, was Du zeigen
> willst
> > ,auch hinreichend für Deine Behauptung ist?
> >
> > Ich meine, es ist toll, eine Eigenschaft einer Folge
> > nachzuweisen - noch toller ist's aber, wenn diese "auch
> > etwas bringt".
> >
> > Aber mal was anderes:
> > Kennst Du nicht den Satz, dass eine Folge genau dann
> > konvergiert, wenn jede Ihrer Teilfolgen konvergiert?
> >
> > Bzw. eine noch einfachere Variante davon: Eine Folge
> > [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] konvergiert genau dann, wenn es zwei
> > Teilfolgen [mm](a_{n^{(1)}_k})_{k \in \IN}[/mm] und
> > [mm](a_{n^{(2)}_k})_{k \in \IN}[/mm] gibt, so dass diese beiden
> > Teilfolgen gegen den gleichen Wert konvergieren UND so,
> > dass die folgende Vereinigung
> > [mm]V:=\{n^{(1)}_k: k \in \IN\} \cup \{n^{(2)}_k: k \in \IN\}[/mm]
>
> >
> > mit [mm]\IN[/mm] übereinstimmt, also [mm]V=\IN[/mm] gilt.
>
> Dazu habe ich noch eine Frage: Wenn ich eine Folge auf
> Häufungswerte untersuche und feststelle, dass es z.B. 3
> Teilfolgen gibt mit drei verschiedenen Häufungswerten,
> muss man anschliessend ja noch begründen weshalb es keine
> weiteren Hw gibt.
warum? Genau dann konvergiert eine Folge, wenn sie einen und nur einen Häufungswert (in meinem Wortgebrauch: Häufungspunkt oder Verdichtungspunkt) hat. Wenn Du schon mehr als einen hast, divergiert die Folge also sowieso!
> Wenn ich jetzt hier die Vereinigung der
> Indizes der 3 Teilfolgen betrachte und diese gleich [mm]\IN[/mm]
> ergeben, reicht diese Feststellung dann auch aus, um zu
> sagen, dass es keine weiteren Hw gibt? Das wäre eine
> bequeme Methode, die ich gerne in der Klausur verwenden
> würde.
Ja. Da Du die Teilfolgen ja "eventuell auch etwas wilder" konstruiert haben könntest, kann man auch allgemeiner sagen: "Vereinigung der Indizes über alle Teilfolgen soll 'mindestens [mm] $\IN \setminus J_0$ [/mm] sein', wobei [mm] $J_0$ [/mm] eine endliche Teilmenge natürlicher Zahlen ist ". Das wäre dann an dieser Stelle "hinreichend dafür, dass man nicht mehr nach weiteren Häufungspunkten zu suchen braucht."
Aber hier geht's dann "um das konkrete Hinschreiben aller Häufungspunkte" als Aufgabe. Wenn es um die Konvergenz geht, und man schon mehr als einen Häufungspunkt hat (also mindestens zwei verschiedene gefunden hat), weiß man, dass die Folge divergiert!
P.S.:
Wenn Du viel Zeit hast und meine ganzen Beiträge mal durchforstet, wirst Du irgendwo einen Beitrag finden, wo ich diese Aussage oben mal "allgemein" aufgeschrieben hatte. Ich glaube, mit selbstgebautem Beweis - aber das weiß ich nicht mehr. Aber der Beweis ist ja auch mehr etwas "formales" - im Gespräch kann man den Beweis quasi "schnell erklären".
Grüße,
Marcel
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> Hallo,
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> > > Hallo Kulli,
> > >
> > > das, was Leduart gesagt hat, mal ein wenig anders
> > > formuliert:
> > > Bist Du Dir erstmal sicher, dass das, was Du zeigen
> > willst
> > > ,auch hinreichend für Deine Behauptung ist?
> > >
> > > Ich meine, es ist toll, eine Eigenschaft einer Folge
> > > nachzuweisen - noch toller ist's aber, wenn diese "auch
> > > etwas bringt".
> > >
> > > Aber mal was anderes:
> > > Kennst Du nicht den Satz, dass eine Folge genau dann
> > > konvergiert, wenn jede Ihrer Teilfolgen konvergiert?
> > >
> > > Bzw. eine noch einfachere Variante davon: Eine Folge
> > > [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] konvergiert genau dann, wenn es zwei
> > > Teilfolgen [mm](a_{n^{(1)}_k})_{k \in \IN}[/mm] und
> > > [mm](a_{n^{(2)}_k})_{k \in \IN}[/mm] gibt, so dass diese beiden
> > > Teilfolgen gegen den gleichen Wert konvergieren UND so,
> > > dass die folgende Vereinigung
> > > [mm]V:=\{n^{(1)}_k: k \in \IN\} \cup \{n^{(2)}_k: k \in \IN\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > mit [mm]\IN[/mm] übereinstimmt, also [mm]V=\IN[/mm] gilt.
> >
> > Dazu habe ich noch eine Frage: Wenn ich eine Folge auf
> > Häufungswerte untersuche und feststelle, dass es z.B. 3
> > Teilfolgen gibt mit drei verschiedenen Häufungswerten,
> > muss man anschliessend ja noch begründen weshalb es keine
> > weiteren Hw gibt.
>
> warum? Genau dann konvergiert eine Folge, wenn sie einen
> und nur einen Häufungswert (in meinem Wortgebrauch:
> Häufungspunkt oder Verdichtungspunkt) hat. Wenn Du schon
> mehr als einen hast, divergiert die Folge also sowieso!
Ja, es soll auch gar nicht um die Konvergenz der Folge gehen, sondern nur um die Bestimmung von Häufungswerten (ich meine mich entsinnen zu können, dass wir die Begriffe Häufungswerte bei Folgen und Häufungspunkte bei Mengen eingeführt hatten, mit entsprechender Definition versteht sich. Aber scheint wohl nicht ganz einheitlich zu sein). Das ist ein konkreter Aufgabentyp, den mein Professor in der Klausur thematisieren könnte.
> > Wenn ich jetzt hier die Vereinigung der
> > Indizes der 3 Teilfolgen betrachte und diese gleich [mm]\IN[/mm]
> > ergeben, reicht diese Feststellung dann auch aus, um zu
> > sagen, dass es keine weiteren Hw gibt? Das wäre eine
> > bequeme Methode, die ich gerne in der Klausur verwenden
> > würde.
>
> Ja. Da Du die Teilfolgen ja "eventuell auch etwas wilder"
> konstruiert haben könntest, kann man auch allgemeiner
> sagen: "Vereinigung der Indizes über alle Teilfolgen soll
> 'mindestens [mm]\IN \setminus J_0[/mm] sein', wobei [mm]J_0[/mm] eine
> endliche Teilmenge natürlicher Zahlen ist ". Das wäre
> dann an dieser Stelle "hinreichend dafür, dass man nicht
> mehr nach weiteren Häufungspunkten zu suchen braucht."
Super!
> Aber hier geht's dann "um das konkrete Hinschreiben aller
> Häufungspunkte" als Aufgabe. Wenn es um die Konvergenz
> geht, und man schon mehr als einen Häufungspunkt hat (also
> mindestens zwei verschiedene gefunden hat), weiß man, dass
> die Folge divergiert!
>
> P.S.:
> Wenn Du viel Zeit hast und meine ganzen Beiträge mal
> durchforstet, wirst Du irgendwo einen Beitrag finden, wo
> ich diese Aussage oben mal "allgemein" aufgeschrieben
> hatte. Ich glaube, mit selbstgebautem Beweis - aber das
> weiß ich nicht mehr. Aber der Beweis ist ja auch mehr
> etwas "formales" - im Gespräch kann man den Beweis quasi
> "schnell erklären".
Das werd ich tun, nach den Klausuren. Ich dachte eigentlich, dass ich rekursive Folgen drin hätte, wir haben nämlich sonst immer nur mit sehr leichten rekursiv definierten Folgen gerechnet (also ab einem [mm] n\in\IN [/mm] meist kleiner gleich 2 konnte man schon die Monotonie sehen). Diese Aufgabe bringt mich etwas ins schwitzen, so kurz vor der Klausur. Aber interessant ist sie sie allemal!
> Grüße,
> Marcel
Grüße, kulli
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:06 Do 02.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> P.S.:
> > Wenn Du viel Zeit hast und meine ganzen Beiträge mal
> > durchforstet, wirst Du irgendwo einen Beitrag finden, wo
> > ich diese Aussage oben mal "allgemein" aufgeschrieben
> > hatte. Ich glaube, mit selbstgebautem Beweis - aber das
> > weiß ich nicht mehr. Aber der Beweis ist ja auch mehr
> > etwas "formales" - im Gespräch kann man den Beweis quasi
> > "schnell erklären".
>
> Das werd ich tun, nach den Klausuren. Ich dachte
> eigentlich, dass ich rekursive Folgen drin hätte, wir
> haben nämlich sonst immer nur mit sehr leichten rekursiv
> definierten Folgen gerechnet (also ab einem [mm]n\in\IN[/mm] meist
> kleiner gleich 2 konnte man schon die Monotonie sehen).
> Diese Aufgabe bringt mich etwas ins schwitzen, so kurz vor
> der Klausur. Aber interessant ist sie sie allemal!
Du brauchst wirklich VIEL Zeit, oder ein gutes Suchverfahren. Ich tippe, dass das so um 2006 gewesen sein wird. Aber bitte: Ich find's gut, wenn Du das findest, dann muss ich's selbst nicht mehr suchen
Was Cauchyfolgen betrifft: Dann lassen wir das erstmal außen vor, wenn ihr Cauchyfolgen noch nicht behandelt habt!
Ehrlich gesagt habe ich an Deine Aufgabe nun auch noch nicht sooo viele Gedanken "geopfert". Mal schauen: Vielleicht rechne ich da gleich mal ein wenig rum, dann kann ich konkretere Tipps geben. Ich find's aber gut, dass Du die Aufgabe als "Herausforderung" ansiehst: Mit solch' einer Einstellung wirst Du das Studium meist besser meistern als andere, die sich "durch's Studium quälen" (aus welchem Grunde auch immer)^^
Gruß,
Marcel
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Ohje, wenn ich so die Anzahl deiner Artikel sehe, brauche ich wohl wirklich ein sehr gutes Suchverfahren und ein glückliches Händchen dazu! :D
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:40 Sa 04.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ohje, wenn ich so die Anzahl deiner Artikel sehe, brauche
> ich wohl wirklich ein sehr gutes Suchverfahren und ein
> glückliches Händchen dazu! :D
google sei Dank hat es nur ein paar Minuten gedauert (5 etwa):
Klick hier!
P.S.:
Exakt bewiesen habe ich die Aussage da auch nicht, aber die ganze Beweisidee kann man dem Beitrag entnehmen. Und der Beweis läßt sich dann auch entsprechen (leicht) aufschreiben. Ich finde es übrigens immer noch schade, dass (zumindest kein mir bekannter) Dozent einen solchen Satz in der Vorlesung formuliert. Denn die Aussage ist doch - denke ich - relativ leicht zu verstehen. Spätestens, wenn man ein, zwei Beispiele mal gesehen hat (Übungsaufgaben), wo sie angewendet wird.
Gruß,
Marcel
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Ich danke dir! Werde es mir nach den Klausuren mal anschauen.
Lg
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