Häufungspunkte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 So 16.11.2008 | | Autor: | Takeela |
| Aufgabe | Sei [mm] (c_{n})_{n\in\IN} [/mm] eine Folge von komplexen Zahlen und es gebe zwei Häufungspunkte
a, b [mm] \in\IC [/mm] mit
[mm] c_{2n} \to [/mm] a und [mm] c_{2n+1} \to [/mm] b.
Zeige, dass es keine weiteren Häufungspunkte gibt. |
Hallo miteinander!
Ich möchte gerne wissen, wie man sowas formel richtig beweisen kann. Mir ist die Behauptung wohl klar, da mit 2n und 2n+1 ja die geraden, sowie die ungeraden Indexzahlen abgedeckt sind - nur ist mir eben nicht klar, wie ein derartiger Beweis aussehen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 So 16.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm](c_{n})_{n\in\IN}[/mm] eine Folge von komplexen Zahlen und
> es gebe zwei Häufungspunkte
> a, b [mm]\in\IC[/mm] mit
> [mm]c_{2n} \to[/mm] a und [mm]c_{2n+1} \to[/mm] b.
> Zeige, dass es keine weiteren Häufungspunkte gibt.
> Hallo miteinander!
>
> Ich möchte gerne wissen, wie man sowas formel richtig
> beweisen kann. Mir ist die Behauptung wohl klar, da mit 2n
> und 2n+1 ja die geraden, sowie die ungeraden Indexzahlen
> abgedeckt sind - nur ist mir eben nicht klar, wie ein
> derartiger Beweis aussehen könnte.
Du kannst den Beweis mit genau dem von Dir eben gesagten führen. Mache doch folgendes:
Sei [mm] $\,p\,$ [/mm] ein Häufungspunkt von [mm] $(c_n)_{n \in \IN}\,.$ [/mm] Zu zeigen ist: Es gilt entweder [mm] $p\,=\,a$ [/mm] oder [mm] $p\,=\,b\,$ [/mm] (nach Aufgabenstellung sind [mm] $a,\;b$ [/mm] zwei Häufungspunkte für [mm] $(c_n)_n$ [/mm] und daher gilt $a [mm] \not=b$) [/mm] . Weil [mm] $\,p\,$ [/mm] ein Häufungspunkt von [mm] $(c_n)_n$ [/mm] ist, existiert eine Teilfolge [mm] $(c_{n_k})_{k \in \IN}$ [/mm] von [mm] $(c_n)_{n \in \IN}$ [/mm] mit [mm] $c_{n_k} \underset{k \to \infty}{\longrightarrow} p\,.$ [/mm]
Jetzt beachte:
Weil [mm] $(c_{n_k})_k$ [/mm] eine Teilfolge von [mm] $(c_n)_n$ [/mm] ist, ist [mm] $(n_k)_{k \in \IN}$ [/mm] eine monoton wachsende Folge in [mm] $\IN\,.$ [/mm] Insbesondere gilt [mm] $n_k \ge [/mm] k$ für alle $k [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
Sei nun [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest, vorgegeben. Dann existiert ein [mm] $N_1=N_1(\varepsilon) \in \IN$ [/mm] mit [mm] $|c_{2n}-a| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N_1\,,$ [/mm] und ein [mm] $N_2=N_2(\varepsilon) \in \IN$ [/mm] mit [mm] $|c_{2n+1}-b| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N_2\,.$
[/mm]
Außerdem existiert ein [mm] $\tilde{K}=\tilde{K}(\varepsilon) \in \IN$ [/mm] mit [mm] $|c_{n_k}-p| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle $k [mm] \ge \tilde{K}\,.$ [/mm] O.E. kann [mm] $\tilde{K} \ge \text{max}\{2N_1,\;2N_2+1\}$ [/mm] angenommen werden.
Überlege Dir nun das folgende:
Gibt es nun unendlich viele $k [mm] \ge \tilde{K}$ [/mm] so, dass [mm] $n_k$ [/mm] ungerade ist für alle diese [mm] $k\,,$ [/mm] so folgt $|b-p| < [mm] 2\varepsilon$ [/mm] für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Was heißt das für [mm] $|b\,-\,p|$?
[/mm]
Analog:
Gibt es nun unendlich viele $k [mm] \ge \tilde{K}$ [/mm] so, dass [mm] $n_k$ [/mm] gerade ist für alle diese [mm] $k\,,$ [/mm] so überlege Dir, dass dann $|a-p| < [mm] 2\varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
P.S.:
Aus den beiden obigen Überlegungen folgt dann auch, dass nur einer der beiden Fälle eintreten kann. D.h. entweder gibt es unendlich viele [mm] $\,k\,$'s [/mm] so, dass [mm] $n_k$ [/mm] gerade ist für alle diese [mm] $\,k\,$'s, [/mm] oder es gibt unendlich viele [mm] $\,k\,$'s [/mm] so, dass [mm] $n_k$ [/mm] ungerade ist für alle diese [mm] $\,k\,$'s. [/mm] Denn andernfalls folgte aus den obigen Überlegungen auch [mm] $|a-b|\,=\,0$ [/mm] im Widerspruch zu $a [mm] \not=b\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 So 16.11.2008 | | Autor: | Takeela |
Okay - ich würde sagen, dass ist alles astrein schlüssig für mich! Meine Güte...
Noch kurz zu meinem Verständnis:
> Gibt es nun unendlich viele [mm]k \ge \tilde{K}[/mm] so, dass [mm]n_k[/mm]
> ungerade ist für alle diese [mm]k\,,[/mm] so folgt [mm]|b-p| < 2\varepsilon[/mm]
> für jedes [mm]\varepsilon > 0\,.[/mm] Was heißt das für [mm]|b\,-\,p|[/mm]?
Das bedeutet ja, dass b = p sein muss, oder?
Analog natürlich für den anderen Fall a = p?
Kann ich eigentlich derart auch für andere Aufgabenstellungen argumentieren, also, wenn es darum geht, alle Häufungspunkte einer bestimmten Folge zu finden? Bzw. muss ich dann überhaupt noch zeigen, dass es keine weiteren Häufungspunkte gibt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 So 16.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay - ich würde sagen, dass ist alles astrein schlüssig
> für mich! Meine Güte...
> Noch kurz zu meinem Verständnis:
> > Gibt es nun unendlich viele [mm]k \ge \tilde{K}[/mm] so, dass
> [mm]n_k[/mm]
> > ungerade ist für alle diese [mm]k\,,[/mm] so folgt [mm]|b-p| < 2\varepsilon[/mm]
> > für jedes [mm]\varepsilon > 0\,.[/mm] Was heißt das für [mm]|b\,-\,p|[/mm]?
>
> Das bedeutet ja, dass b = p sein muss, oder?
> Analog natürlich für den anderen Fall a = p?
genau (zunächst folgt natürlich erstmal [mm] $|b-p|\,=\,0$ [/mm] bzw. [mm] $|a-p|\,=\,0$). [/mm] 
> Kann ich eigentlich derart auch für andere
> Aufgabenstellungen argumentieren, also, wenn es darum geht,
> alle Häufungspunkte einer bestimmten Folge zu finden? Bzw.
> muss ich dann überhaupt noch zeigen, dass es keine weiteren
> Häufungspunkte gibt?
Wie meinst Du das? Wenn behauptet wird: [mm] $\,X\,$ [/mm] ist die Menge der Häufungspunkte der Folge [mm] $(a_n)_n\,,$ [/mm] also wenn ich die letzte Menge mal [mm] $\text{HP}((a_n)_n)$ [/mm] nenne:
Dann kannst Du auch einfach so vorgehen:
1. Zeige: Jedes $x [mm] \in [/mm] X$ ist ein Häufungspunkt der Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] (das zeigst Du z.B. durch Angabe konkreter Teilfolgen).
(Das zeigt dann: $X [mm] \subset \text{HP}((a_n)_n)\,.$)
[/mm]
2. Ist $y [mm] \notin X\,,$ [/mm] so ist [mm] $\,y\,$ [/mm] auch kein Häufungspunkt von [mm] $(a_n)_n\,.$ [/mm] (Das zeigt dann: [mm] $\text{HP}((a_n)_n) \subset [/mm] X$).
(Oben wurde ja mit [mm] $X=\{a,\;b\}$ [/mm] behauptet, dass [mm] $X=\text{HP}((c_n)_n)$ [/mm] gilt:
Im Beweis wurde folgendes gemacht:
Klar ist, dass nach Voraussetzung [mm] $X=\{a,\;b\} \subset \text{HP}((c_n)_n)$ [/mm] gilt.
Es ist also noch [mm] $\text{HP}((c_n)_n) \subset X=\{a,\;b\}$ [/mm] zu zeigen:
Ist [mm] $\,p\,$ [/mm] Häufungspunkt von [mm] $(c_n)_n$ [/mm] (also $p [mm] \in \text{HP}((c_n)_n)$) [/mm] so folgt [mm] $p\,=\,a$ [/mm] oder [mm] $p\,=\,b$ [/mm] (ausführlicher steht das oben, warum das folgt!) und damit $p [mm] \in X=\{a,\;b\}\,.$)
[/mm]
Und das eine Folge sehr viele, ja sogar abzählbar unendlich viele Häufungspunkte haben kann, zeigt ja schon das Beispiel der Folge [mm] $(a_n)\,,$ [/mm] die so konstruiert werde:
[mm] $$a_1:=1\,,$$
[/mm]
[mm] $$a_2:=1,\;a_3:=2,$$
[/mm]
[mm] $$a_4:=1,\;a_5:=2,\;a_6:=3,$$
[/mm]
[mm] $$a_7:=1,\;a_8:=2,\;a_9:=3,\;a_{10}:=4,$$
[/mm]
$$.$$
$$.$$
$$.$$
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Takeela |
| Aufgabe | [mm] (b_{n})_{n\in\IN} [/mm] sei eine Folge. Bestimme alle Häufungspunkte dieser Folge
[mm] b_{n}=\bruch{n+1}{2^n*n}*i*(-1+i\wurzel{3})^n [/mm] |
Ich glaube, ich habe mich missverständlich ausgedrückt - entschuldige bitte. Meine Frage bezog sich auf eine Aufgabenstellung, so wie diese hier. Wenn ich Häufungspunkte gefunden habe, muss ich auch zeigen, dass es keine weiteren mehr gibt?
Anbei: Stimmt es, dass die Folge [mm] (b_{n})_{n\in\IN} [/mm] keinen Häufungspunkt besitzt? Ich vermute das...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Mo 17.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> [mm](b_{n})_{n\in\IN}[/mm] sei eine Folge. Bestimme alle
> Häufungspunkte dieser Folge
>
> [mm]b_{n}=\bruch{n+1}{2^n*n}*i*(-1+i\wurzel{3})^n[/mm]
> Ich glaube, ich habe mich missverständlich ausgedrückt -
> entschuldige bitte. Meine Frage bezog sich auf eine
> Aufgabenstellung, so wie diese hier. Wenn ich
> Häufungspunkte gefunden habe, muss ich auch zeigen, dass es
> keine weiteren mehr gibt?
Natürlich.
> Anbei: Stimmt es, dass die Folge [mm](b_{n})_{n\in\IN}[/mm]
> keinen Häufungspunkt besitzt? Ich vermute das...
Das stimmt nicht ! Rechne nach : [mm] |b_n| [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{n} \le [/mm] 2 für jedes n.
[mm] (b_n) [/mm] ist also beschränkt.
Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß hat [mm] (b_n) [/mm] Häufungspunkte.
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm](b_{n})_{n\in\IN}[/mm] sei eine Folge. Bestimme alle
> Häufungspunkte dieser Folge
>
> [mm]b_{n}=\bruch{n+1}{2^n*n}*i*(-1+i\wurzel{3})^n[/mm]
> Ich glaube, ich habe mich missverständlich ausgedrückt -
> entschuldige bitte. Meine Frage bezog sich auf eine
> Aufgabenstellung, so wie diese hier. Wenn ich
> Häufungspunkte gefunden habe, muss ich auch zeigen, dass es
> keine weiteren mehr gibt?
ja, wobei man das manchmal auch anders begründen kann. Wenn man z.B. jetzt herausgefunden hat, dass [mm] $\,X\,$ [/mm] jedenfalls eine Teilmenge der Häufungspunktmenge von [mm] $(b_n)_n$ [/mm] ist, und nun zu jedem $x [mm] \in [/mm] X$ eine Teilfolge [mm] $(b_{n_k(x)})_k$ [/mm] angeben kann, dass zum einen [mm] $b_{n_k(x)} \to [/mm] x$ ($k [mm] \to \infty$) [/mm] und so, dass zum anderen [mm] $\bigcup_{x \in X} \{n_k(x):\;k \in \IN\}=\IN$ [/mm] gilt, dann gilt sicherlich auch, dass [mm] $\,X\,$ [/mm] eine Obermenge der Häufungspunktmenge der Folge [mm] $(b_n)_n$ [/mm] ist.
Und das, was da oben jetzt vielleicht etwas kompliziert ausgedrückt ist, sage ich jetzt nochmal in Worten, denn dann verstehst Du die Aussage sicher auch eher:
Wenn man für jeden Punkt $x [mm] \in [/mm] X$ eine Folge [mm] $(n_k(x))_k$ [/mm] so gefunden hat, dass [mm] $b_{n_k(x)} \to [/mm] x$ ($k [mm] \to \infty$) [/mm] und, wenn man alle diese Indizes-Folgen zusammenschmeißt und dann alle (man könnte auch "nur" fordern: alle bis auf endlich viele; das ist aber unerheblich) natürliche Zahlen erhält, dann ist [mm] $\,X\,$ [/mm] gleich der Menge der Häufungspunkte der Folge [mm] $(b_n)_n\,.$
[/mm]
Denn dann läßt sich keine Teilfolge mehr angeben, die gegen ein $y [mm] \notin [/mm] X$ konvergieren könnte.
Ich mache auch mal gerne ein einfaches Beispiel (einfach sind sowieso eigentlich alle Beispiele, bei denen eine Folge nur endlich viele Häufungspunkte hat):
Die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] werde definiert durch [mm] $a_1:=\pi,\,$ $a_2:=6,\,$ $a_3:=41023,\,$ $a_4:=10^{12},\,$ $a_5:=2\pi,\,$ $a_6:=6,\,$ $a_7:=40023,\,$ $a_k:=e+\left(k \text{ mod }4\right)$ [/mm] ($k [mm] \ge [/mm] 8$).
Wir behaupten, dass [mm] $\text{HP}((a_n)_n)=\{e,\;e+1,\;e+2,\;e+3\}\,.$
[/mm]
Denn:
Mit [mm] $n_k(e+m):=4k+m$ [/mm] gilt sicherlich für jedes $m [mm] \in \{0,\;1,\;2,\;3\}\,,$ [/mm] dass [mm] $a_{n_k(e+m)}=e+\left((4k+m) \text{ mod }4\right)=e+m$ [/mm] (für alle $k [mm] \ge [/mm] 2$) und damit [mm] $a_{n_k(e+m)} \underset{k \to \infty}{\longrightarrow} [/mm] e+m$ für [mm] $m=0,\,1,\,2,\,3\,.$
[/mm]
(Also gilt [mm] $\{e,\;e+1,\;e+2,\;e+3\} \subset \text{HP}((a_n)_n)\,.$)
[/mm]
Weiter ist aber
[mm] $$\IN=\{4k:\; k \in \IN\} \cup \{4k+1:\;k \in \IN\} \cup \{4k+2:\;k \in \IN\} \cup \{4k+3:\;k \in \IN\}$$
[/mm]
und damit
[mm] $$\IN=\{n_k(e):\;k \in \IN\} \cup \{n_k(e+1):\;k \in \IN\} \cup \{n_k(e+2):\;k \in \IN\} \cup \{n_k(e+3):\;k \in \IN\}\,.$$
[/mm]
Das zeigt, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] auch keine weiteren Häufungspunkte haben kann, also gilt auch [mm] $\text{HP}((a_n)_n)\subset \{e,\;e+1,\;e+2,\;e+3\} \,.$
[/mm]
Also vielleicht nochmal in anderen Worten (das ist vll. sogar am verständlichsten):
Wenn man durch Angabe der Teilfolgen solche Indexfolgen angeben kann, so dass man mit "nichtverbrauchten Indizes" (wenn überhaupt welche verbleiben) keine Teilfolge mehr bilden kann, dann gibt es natürlich auch keine weiteren Häufungspunkte mehr für die Folge.
P.S.:
Was ich mit "nichtverbrauchten Indizes" meine, ist hoffentlich klar. Das kann allerdings ein "aktiver Prozess" sein. Man hat quasi erst dann alle Indizes (oder alle bis auf endlich viele) als verbraucht markiert, wenn man alle Häufungspunkte der Folge gefunden hat.
Beispiel:
(Hier ist $0 [mm] \notin \IN\,.$)
[/mm]
[mm] $r_n:=n \text{ mod }3$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$)
[/mm]
[mm] $\,0\,$ [/mm] ist Häufungspunkt (von [mm] $(r_n)_n$):
[/mm]
Denn:
Mit [mm] $n_k:=3k$ [/mm] ($k [mm] \in \IN$) [/mm] gilt [mm] $r_{n_k}=0 \to 0\,.$
[/mm]
D.h., wir markieren nun alle durch [mm] $\,3\,$ [/mm] teilbaren natürlichen Zahlen als verbraucht.
[mm] $\IN \setminus\{3k: \;k \in \IN\}$ [/mm] ist aber noch eine unendliche Menge. Wir forschen weiter:
[mm] $\,1\,$ [/mm] ist Häufungspunkt:
Denn:
Mit [mm] $n_k:=3k-2$ [/mm] ($k [mm] \in \IN$) [/mm] gilt [mm] $r_{n_k}=1 \to 1\,.$
[/mm]
D.h., wir markieren nun auch noch alle natürlichen Zahlen, bei deren Division durch [mm] $\,3\,$ [/mm] der Rest [mm] $\,1\,$ [/mm] ist.
[mm] $\IN \setminus (\{3k: \;k \in \IN\} \cup \{3k-2:\;k \in \IN\})$ [/mm] ist aber immer noch eine unendliche Menge.
Und im nächsten Schritt wirst Du fertig sein.
Das wäre quasi eine "algorithmische Vorgehensweise", die natürlich (in der obigen Form, also durch "schrittweises finden eines weiteren Häufungspunktes") natürlich nur dann sinnvoll ist, wenn eine Folge nur endlich viele Häufungspunkte hat.
Die Aussage mit den Indizes bleibt natürlich auch bei unendlich vielen Häufungspunkten gleich, nur wird dieser Algorithmus dann problematisch, weil man dann ja quasi unendlich lang' nach Häufungspunkten suchen würde (selbst, wenn man annimmt, dass man für jede Suche minimal eine Sekunde bräuchte).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:35 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Takeela |
Okay... entschuldigt bitte, dass ich etwas lang brauche - aber das ist alles neu für mich.
Ich möchte gerne einen Beweis führen und wissen, ob alles - natürlich auch formel - richtig ist:
"Voraussetzung: [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] sei eine Folge komplexer Zahlen mit [mm] a_{n}=\bruch{i}{2}*(1+i^n)
[/mm]
Behauptung: [mm] a_{4k+1} \to -\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}i, a_{4k+2} \to [/mm] 0, [mm] a_{4k+3} \to \bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}i, a_{4k+4} \to [/mm] i, k [mm] \in \IN \cup [/mm] {0}
Beweis: [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}a_{4k+1}=\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{i}{2}*(1+i^{4k+1})=...=-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}i
[/mm]
(die anderen Häufungspunkte beweise ich analog mit dem jeweiligen limes)
Nun ist zu zeigen, dass es keine weiteren Häufungspunkte mehr gibt: [mm] \IN/{{4k+1}}\cup{({4k+2})}\cup{({4k+3})}\cup{({4k+4})}=\emptyset [/mm] "
Ich bin eben immer speziell wegen der Formalität unsicher und würde mich sehr freuen, falls ich etwas vergessen, falsch, oder unzulässig behandelt habe, Kritik und Verbesserung zu erhalten.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:29 Mi 19.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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