Punkte im kart. Koordinatensys < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Do 17.03.2011 | | Autor: | Amicus |
| Aufgabe | In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(2/2/-4), [mm] B_{t}(4/t/-2) [/mm] und [mm] C_{s}(s/2/-6) [/mm] mit s,t Element [mm] \IR [/mm] sowie die Punkte P(2/0/1) und Q(4/2/0) gegeben.
a) Stellen sie eine Gleichung der Ebene E, die die Punkte A, [mm] B_{1} [/mm] und [mm] C_{1} [/mm] enthält, in Parameterdarstellung auf.
b) Im Punkt P befindet sich eine Punktförmige Lichtquelle. Ein Laserstrahl verläuft von dort durch den Punkt Q und trifft dann in einem Punkt R auf die Ebene E. Bestimme die Koordinaten des Punktes R.
c) Alle Punkte [mm] B_{t} [/mm] mit t Element [mm] \IR [/mm] liegen auf einer Geraden g und alle Punkte [mm] C_{s} [/mm] mit s Element [mm] \IR [/mm] auf einer Geraden h. Bestimmen sie jeweils eine Gleichung für g und h und zeigen sie, dass die Geraden g und h windschief zueinander verlaufen.
d) Bestimme s Element [mm] \IR [/mm] so, dass der Abstand d der Punkte [mm] C_{s} [/mm] zum Koordinatenursprung 7 LE beträgt. |
Die Aufgabe sollten wir als Übung zur Klausur bearbeiten, allerdings haben wird sowas bislang noch nicht gemacht. Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte!
LG
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Hallo Amicus.,
> In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte
> A(2/2/-4), [mm]B_{t}(4/t/-2)[/mm] und [mm]C_{s}(s/2/-6)[/mm] mit s,t Element
> [mm]\IR[/mm] sowie die Punkte P(2/0/1) und Q(4/2/0) gegeben.
>
> a) Stellen sie eine Gleichung der Ebene E, die die Punkte
> A, [mm]B_{1}[/mm] und [mm]C_{1}[/mm] enthält, in Parameterdarstellung auf.
>
> b) Im Punkt P befindet sich eine Punktförmige Lichtquelle.
> Ein Laserstrahl verläuft von dort durch den Punkt Q und
> trifft dann in einem Punkt R auf die Ebene E. Bestimme die
> Koordinaten des Punktes R.
>
> c) Alle Punkte [mm]B_{t}[/mm] mit t Element [mm]\IR[/mm] liegen auf einer
> Geraden g und alle Punkte [mm]C_{s}[/mm] mit s Element [mm]\IR[/mm] auf einer
> Geraden h. Bestimmen sie jeweils eine Gleichung für g und
> h und zeigen sie, dass die Geraden g und h windschief
> zueinander verlaufen.
>
> d) Bestimme s Element [mm]\IR[/mm] so, dass der Abstand d der Punkte
> [mm]C_{s}[/mm] zum Koordinatenursprung 7 LE beträgt.
> Die Aufgabe sollten wir als Übung zur Klausur bearbeiten,
> allerdings haben wird sowas bislang noch nicht gemacht.
> Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte!
Stelle zunächst die Ebenengleichung auf.
Eine Ebene durch 3 Punkte A,B,C , welche nicht auf
einer Geraden liegen, ist gegeben durch:
[mm]E:\overrrightarrow{x}=\overrrightarrow{OA}+\alpha*\overrrightarrow{AB}+\beta*\overrrightarrow{AC}[/mm]
,wobei
[mm]\overrrightarrow{OA}[/mm] der Ortsvektor zum Punkt A,
[mm]\overrrightarrow{AB}[/mm] die Differenz der Ortsvektoren zum Punkt B
und zum Punkt A ist,
[mm]\overrrightarrow{AC}[/mm] die Differenz der Ortsvektoren zum Punkt C
und zum Punkt A ist.
In b) stellst Du zunächst die Gerade durch die Punkte P und Q auf,
und schneidest diese dann mit der Ebene E.
>
> LG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Do 17.03.2011 | | Autor: | Amicus |
Als Ebene E hab ich jetzt [mm] E:x=\vektor{2 \\2 \\-4}+\lambda\vektor{2 \\-1 \\2}+\mu\vektor{-1 \\ 0 \\-2}.
[/mm]
Die Gerade g durch die Punkte P und Q hat die Gleichung [mm] g:x=\vektor{2 \\ 0 \\1}+\nu\vektor{2 \\ 2 \\-1}.
[/mm]
Wenn ich jetzt den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene haben will, kann ich doch einfach E und g gleichsetzen und dann als LGS lösen, oder?
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Hallo Amicus,
> Als Ebene E hab ich jetzt [mm]E:x=\vektor{2 \\2 \\-4}+\lambda\vektor{2 \\-1 \\2}+\mu\vektor{-1 \\ 0 \\-2}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Die Gerade g durch die Punkte P und Q hat die Gleichung
> [mm]g:x=\vektor{2 \\ 0 \\1}+\nu\vektor{2 \\ 2 \\-1}.[/mm]
>
> Wenn ich jetzt den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene
> haben will, kann ich doch einfach E und g gleichsetzen und
> dann als LGS lösen, oder?
Ja, das kannst Du machen.
Einfacher gehts, wenn Du einen Normalenform
der Ebene E bestimmst, die Gerade einsetzt
und die entstehende Gleichung löst.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Do 17.03.2011 | | Autor: | Amicus |
Super, danke!!
Kann mir jetzt noch jemand bei c und d helfen?
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Hallo Amicus,.
> Super, danke!!
> Kann mir jetzt noch jemand bei c und d helfen?
Bei c) stellst Du die Gerade g und h auf, und zeigst dann,
daß diese Geraden g und h keinen Schnittpunkt haben.
Bei d) ist der euklidische Abstand des Punktes [mm]C_{s}[/mm]
zum Ursprung gemeint. Bestimme daraus die Wert für s.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Do 17.03.2011 | | Autor: | Amicus |
Also erstmal zu c):
Soll ich mit den allgemeinen Punkten [mm] B_{t} [/mm] und [mm] C_{s} [/mm] rechnen oder für die Variablen t und s Zahlen einsetzen?
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Hallo Amicus.
> Also erstmal zu c):
> Soll ich mit den allgemeinen Punkten [mm]B_{t}[/mm] und [mm]C_{s}[/mm]
> rechnen oder für die Variablen t und s Zahlen einsetzen?
Rechne mit den allgemeinen Punkten.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Amicus |
Für alle Punkte von B hab ich jetzt die Gleichung [mm] g:x=\vektor{4 \\t_{1} \\-2}+\lambda\vektor{0 \\t_{2}-t_{1} \\0}. [/mm] Für alle Punkte von C die Gleichung [mm] h:x=\vektor{s_{1} \\2 \\-6}+\lambda\vektor{s_{2}-s_{1} \\0 \\0}. [/mm] Was kann ich damit jetzt anfangen?
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Hallo Amicus,
> Für alle Punkte von B hab ich jetzt die Gleichung
> [mm]g:x=\vektor{4 \\t_{1} \\-2}+\lambda\vektor{0 \\t_{2}-t_{1} \\0}.[/mm]
> Für alle Punkte von C die Gleichung [mm]h:x=\vektor{s_{1} \\2 \\-6}+\lambda\vektor{s_{2}-s_{1} \\0 \\0}.[/mm]
> Was kann ich damit jetzt anfangen?
Zeige jetzt, daß die beiden Geraden windschief zueinander sind,
d.h. keinen Schnittpunkt besitzen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:01 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Amicus |
Wenn ich g und h gleichsetze und dann umforme, kann ich ja ein LGS aufmachen, was da lautet:
[mm] -\mu s_{2}+\mu s_{1}=s_{1}-4
[/mm]
[mm] \lambda t_{2}-\lambda t_{1}=2-t_{1}
[/mm]
0=-8
Da 0=-8 falsch ist, verlaufen die beiden Geraden windschief zueinander, ist das damit bewiesen?
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Hallo Amicus,
> Wenn ich g und h gleichsetze und dann umforme, kann ich ja
> ein LGS aufmachen, was da lautet:
>
> [mm]-\mu s_{2}+\mu s_{1}=s_{1}-4[/mm]
> [mm]\lambda t_{2}-\lambda t_{1}=2-t_{1}[/mm]
> 0=-8
>
> Da 0=-8 falsch ist, verlaufen die beiden Geraden windschief
> zueinander, ist das damit bewiesen?
Ja.
Ich seh grad, das das einfacher geht, wenn Du nämlich
nur die z-Koordinate betrachtest, dann siehst Du sofort,
dass sich die beiden Geraden nicht schneiden.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Amicus |
Schön, nun noch Aufgabenteil d :)
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Hallo Amicus,
> Schön, nun noch Aufgabenteil d :)
Nun, die Formel für den Abstand zweier Punkte sollte bekannt sein.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Amicus |
Einach zweimal Satz des Pythagoras anwenden, weils dreidimensional ist, oder gibts da noch ne andere Möglichkeit? Das haben wir im ksrthesischen Koordinatensystem noch nicht gemacht!
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Hallo Amicus,.
> Einach zweimal Satz des Pythagoras anwenden, weils
> dreidimensional ist, oder gibts da noch ne andere
> Möglichkeit? Das haben wir im ksrthesischen
> Koordinatensystem noch nicht gemacht!
Nimm einfach den Betrag des Ortsvektors zum Punkt [mm]C_{s}[/mm].
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Amicus |
Der Betrag wär ja dann (s/2/6). Ich weiß nun immernoch nicht wirklich was ich damit anfangen soll.
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Hallo Amicus,
> Der Betrag wär ja dann (s/2/6). Ich weiß nun immernoch
> nicht wirklich was ich damit anfangen soll.
Nein, das ist nicht der Betrag des Vektors [mm]C_{s}[/mm]
Der Betrag eines Vektor ist die Wurzel aus dem Skalarprodukt
dieses Vektors mit sich selbst.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Amicus |
Könntest du den Betrag bei dem Punkt mal konkret aufschreiben, weil mit der Definition kann ich leider nicht so wirklich was anfangen.
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Hallo Amicus,
> Könntest du den Betrag bei dem Punkt mal konkret
> aufschreiben, weil mit der Definition kann ich leider nicht
> so wirklich was anfangen.
Es ist:
[mm]\vmat{\overrightarrow{OC_{s}}}=\wurzel{\overrightarrow{OC_{s}} \* \overrightarrow{OC_{s}}}[/mm]
, wobei "[mm]\*[/mm]" das Skalarprodukt
und [mm]\overrightarrow{OC_{s}}[/mm] der Ortsvektor zum Punkt [mm]C_{s}[/mm] ist.
Kurz gesagt:
Erhebe alles Komponenten des Punktes [mm]C_{s}[/mm] in die zweite Potenz,
summiere dann diese quadrierten Komponenten und ziehe die Wurzel daraus.
Gruss
MathePower
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