(Not)Umkehrfunkton < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Sa 28.06.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgende Funktion auf Umkehrbarkeit (d.h. bestimmen Sie den Defintions- und Wertebereich dieser Funktion sowie die Umkehrfunktion bzw. eine Not-Umkehrfunktion mit Definitions- und Wertebereich)
[mm] f(x)=\sqrt{1-x^3} [/mm] |
Also für den Definitionsbereich habe ich:
[mm] D_f=\{x | x \le 1\}
[/mm]
Dann habe ich nach Extremwerten gesucht:
(siehe diesen Artikel für die Ableitungen)
[mm] f'(x)=-\bruch{3x^2}{2\sqrt{1-x^3}}
[/mm]
x=0 ist eine mögliche Extremstelle
[mm] f''(x)=-\bruch{12x-21x^4}{(4-4x^3)\sqrt{1-x^3}}
[/mm]
f''(0)=0
Deshalb hab ich dann auf Vorzeichenwechsel geprüft:
[mm] f'(-\bruch{1}{2}) [/mm] < 0
[mm] f'(\bruch{1}{2}) [/mm] < 0
Also handelt es sich um einen Sattelpunkt, richtig?
Kann man wenn f''=0 ist direkt sagen es sei ein Sattelpunkt?
f(0)=1
[mm] \to [/mm] Sattelpunkt bei (0/1)
Daraus würde ich schliessen, dass die Funktion vom unendlichen fällt, beim Sattelpunkt(0/1) hat die Funktion eine Steigung von 0 und fällt dann weiter bis zum x-Wert = 1.
Also:
[mm] D_f=\{x | x \le 1\}
[/mm]
[mm] W_f=\{y | y \ge 0\}
[/mm]
Also handelt es sich um eine Umkehrbare Funktion, da kein y- Wert 2 mal auftaucht?!
[mm] y=\sqrt{1-x^3}
[/mm]
[mm] \gdw y^2=1-x^3
[/mm]
[mm] \gdw x^3=1-y^2
[/mm]
[mm] \gdw x=\sqrt[3]{1-y^2}
[/mm]
f(x)^-^1 [mm] \to y=\sqrt[3]{1-x^2}
[/mm]
Hier hab' ich dann aber
[mm] D_f^-^1=\IR \not= W_f=\{y | y \ge 0\}
[/mm]
[mm] W_f^-^1=\{y | y \le 1\}
[/mm]
...
Sollte der Definitionsbereich der Umkehrfunktion nicht gleich dem Wertebereich der (normalen) Funktion sein?
irgendwas falsch gemacht?
Danke schonmal im vorraus und besten Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:52 Sa 28.06.2008 | | Autor: | chrisno |
> Untersuchen Sie die folgende Funktion auf Umkehrbarkeit
> (d.h. bestimmen Sie den Defintions- und Wertebereich dieser
> Funktion sowie die Umkehrfunktion bzw. eine
> Not-Umkehrfunktion mit Definitions- und Wertebereich)
>
> [mm]f(x)=\sqrt{1-x^3}[/mm]
> Also für den Definitionsbereich habe ich:
> [mm]D_f=\{x | x \le 1\}[/mm]
ok
>
> Dann habe ich nach Extremwerten gesucht:
>
> [mm]f'(x)=-\bruch{3x^2}{2\sqrt{1-x^3}}[/mm]
>
> x=0 ist eine mögliche Extremstelle
ok
>
> [mm]f''(x)=-\bruch{12x-21x^4}{(4-4x^3)\sqrt{1-x^3}}[/mm]
>
> f''(0)=0
habe ich nicht nachgerechnet, darum nur auf teilweise beantwortet gesetzt.
> Deshalb hab ich dann auf Vorzeichenwechsel geprüft:
>
> [mm]f'(-\bruch{1}{2})[/mm] < 0
> [mm]f'(\bruch{1}{2})[/mm] < 0
>
> Also handelt es sich um einen Sattelpunkt, richtig?
ja
Der Wertebereich der ersten Ableitungsfunktion ist [mm] $\le [/mm] 0$, damit ist die Funktion monoton fallend, also ohne Extremum.
> Kann man wenn f''=0 ist direkt sagen es sei ein
> Sattelpunkt?
nein. Untersuche mal $f(x) = [mm] x^4$.
[/mm]
>
> f(0)=1
> [mm]\to[/mm] Sattelpunkt bei (0/1)
> Daraus würde ich schliessen, dass die Funktion vom
> unendlichen fällt, beim Sattelpunkt(0/1) hat die Funktion
> eine Steigung von 0 und fällt dann weiter bis zum x-Wert =
> 1.
ja, wobei Du die Betrachtung für [mm] $-\infty$ [/mm] nicht hingechrieben hast.
> Also:
>
> [mm]D_f=\{x | x \le 1\}[/mm]
> [mm]W_f=\{y | y \ge 0\}[/mm]
>
> Also handelt es sich um eine Umkehrbare Funktion, da kein
> y- Wert 2 mal auftaucht?!
ja
>
> [mm]y=\sqrt{1-x^3}[/mm]
> [mm]\gdw y^2=1-x^3[/mm]
> [mm]\gdw x^3=1-y^2[/mm]
> [mm]\gdw x=\sqrt[3]{1-y^2}[/mm]
>
> f(x)^-^1 [mm]\to y=\sqrt[3]{1-x^2}[/mm]
>
> Hier hab' ich dann aber
> [mm]D_f^-^1=\IR \not= W_f=\{y | y \ge 0\}[/mm]
> [mm]W_f^-^1=\{y | y \le 1\}[/mm]
>
> ...
> Sollte der Definitionsbereich der Umkehrfunktion nicht
> gleich dem Wertebereich der (normalen) Funktion sein?
> irgendwas falsch gemacht?
Du hast den maximalen Definitionsbereich gesucht. Der ist größer, als der benötigte. Nimm mal die Umkehrfunktion und kehre die wieder um. Dann siehst Du, dass dies nur gelingt, wenn Du den Definitionsbereich einschränkst.
Also: Der Wertebereich der Ausgangsfunktion muss in dem maximalen Definitionsbereich der Umkehrfunktion enthalten sein.
> Danke schonmal im vorraus und besten Gruß,
> tedd
>
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Jedem Problem die ihm angemessene Lösungsstrategie. Und die Differentialrechnung ist hier eindeutig fehl am Platze. Betrachte die Funktionen [mm]s,u,v,w[/mm] mit
[mm]s(x) = x^3 \, , \ \ \ u(x) = -x \, , \ \ \ v(x) = x+1 \, , \ \ \ w(x) = \sqrt{x}[/mm]
Alle Funktionen sind bijektiv, d.h. umkehrbar:
[mm]s^{-1}(x) = \sqrt[3]{x} \, , \ \ \ u^{-1}(x) = - x \, , \ \ \ v^{-1}(x) = x-1 \, , \ \ \ w^{-1}(x) = x^2[/mm]
Und wenn man, wie du schon festgestellt hast, nur [mm]x \in D_f = (-\infty,1][/mm] zuläßt, gilt
[mm]f = w \circ v \circ u \circ s[/mm]
Und der Wertebereich von [mm]f[/mm] sind gerade die nichtnegativen reellen Zahlen: [mm]W_f = [0,\infty)[/mm]. Daher gilt dort
[mm]f^{-1} = s^{-1} \circ u^{-1} \circ v^{-1} \circ w^{-1}[/mm]
Daß ich das hier als Verkettungen geschrieben habe, soll dir nur die Prozesse, die da nacheinander ablaufen, verdeutlichen. Fürs praktische Rechnen wäre ich so vorgegangen:
[mm]y = \sqrt{1-x^3}[/mm]
Damit der Radikand nicht negativ wird, muß [mm]x \leq 1[/mm] sein. Der Radikand erreicht dann jede nichtnegative reelle Zahl, das anschließende Wurzelziehen ändert daran nichts: [mm]y \geq 0[/mm]. Die Funktion ist eine Verkettung bijektiver Funktionen.
Für [mm]x \in (-\infty,1][/mm] und [mm]y \in [0,\infty)[/mm] formt man um:
[mm]y = \sqrt{1-x^3} \ \ \Leftrightarrow \ \ y^2 = 1 - x^3 \ \ \Leftrightarrow \ \ x^3 = 1 - y^2 \ \ \Leftrightarrow \ \ x = \sqrt[3]{1 - y^2}[/mm]
[mm]f(x) = \sqrt{1 - x^3}, \ x \leq 1,[/mm] besitzt also die Umkehrfunktion [mm]f^{-1}(y) = \sqrt[3]{1 - y^2}, \ y \geq 0[/mm]
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