1.&2. Ableitung einer Funktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Fr 27.06.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Geben Sie die Ableitungen 1ter und 2ter Ordnung folgender Funktion an:
[mm] f(x)=\sqrt{1-x^3} [/mm] |
[mm] f(x)=\sqrt{1-x^3}=(1-x^3)^\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] u(v)=v^\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] u'(v)=\bruch{1}{2}v^-^\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] v(x)=1-x^3
[/mm]
[mm] v'(x)=-3x^2
[/mm]
[mm] f'(x)=u'(v(x))*v'(x)=\bruch{1}{2}(1-x^3)^-^\bruch{1}{2}*(-3x^2)=(1-x^3)^-^\bruch{1}{2}*(-\bruch{3}{2}x^2)=-\bruch{3x^2}{2\sqrt{1-x^3}}
[/mm]
Für die 2te Ableitung wollte ich die Produktregel anwenden mit
[mm] u(x)=(1-x^3)^-^\bruch{1}{2}=\bruch{1}{\sqrt{1-x^3}} [/mm] und
[mm] v(x)=-\bruch{3}{2}x^2
[/mm]
dann leite ich erst einmal u(x) ab:
[mm] u(w)=w^-^\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] u'(w)=-\bruch{1}{2}w^-^\bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] w(x)=1-x^3
[/mm]
[mm] w'(x)=-3x^2
[/mm]
[mm] u'(w(x))*w'(x)=-\bruch{1}{2}(1-x^3)^-^\bruch{3}{2}*(-3x^2)
[/mm]
[mm] =(1-x^3)^-^\bruch{3}{2}*\bruch{3}{2}x^2=\bruch{3x^2}{2*\sqrt{(1-x^3)^3}}
[/mm]
und
[mm] v(x)=-\bruch{3}{2}x^2
[/mm]
v'(x)=-3x
dann hab ich
f''(x)=u'(x)*v(x)+v'(x)*u(x)
[mm] =\bruch{3x^2}{2*\sqrt{(1-x^3)^3}}*(-\bruch{3}{2}x^2)+(-3x)*(1-x^3)^-^\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] =-\bruch{9x^4}{4*\sqrt{(1-x^3)^3}}-\bruch{3x}{\sqrt{1-x^3}}
[/mm]
bis hierhin müsste es eigentlich stimmen, aber jetzt wollte ich das ganze versuchen noch weiter aufzulösen wo ich mir nicht 100% sicher bin ob das so richtig ist:
auf einen Hauptnenner gebracht:
[mm] =-\bruch{12x\sqrt{(1-x^3)^3}-9x^4*\sqrt{1-x^3}}{4\sqrt{(1-x^3)^4}}
[/mm]
Wurzel im Zähler umschreiben:
[mm] =-\bruch{12x*(1-x^3)*\sqrt{1-x^3}-9x^4*\sqrt{1-x^3}}{4*\sqrt{(1-x^3)^4}}
[/mm]
Wurzel im Zähler ausklammern:
[mm] =-\bruch{\sqrt{1-x^3}(12x(1-x^3)-9x^4)}{4\sqrt{(1-x^3)^4}}
[/mm]
Wurzel wegkürzen und im Nenner auflösen:
[mm] =-\bruch{12x(1-x^3)-9x^4}{4(1-x^3)*\sqrt{1-x^3}}
[/mm]
Bei folgenden Schritten bin ich mir total unsicher...
Jetzt Klammern ausmultiplizieren:
[mm] =-\bruch{12x-12x^4-9x^4}{(4-4x^3)\sqrt{1-x^3}}
[/mm]
[mm] =-\bruch{(3x)(4-4x^3)(-3x^3)}{(4-4x^3)\sqrt{1-x^3}}
[/mm]
jetzt hab ich gekürzt und es bleibt:
[mm] -\bruch{-9x^4}{\sqrt{1-x^3}}=\bruch{-9x^4}{\sqrt{1-x^3}}
[/mm]
aber irgendwie bezweifel ich, dass das richtig ist allein schon wegen dem Vorzeichen?!.
Hab dann mal dass und was ich weiter oben raus hatte beides plotten lassen und die graphen sahen dann auch anders aus ...
Aber wo ich einen fehler gemacht hab seh ich jetzt auch nicht.
Danke schonmal im vorraus fürs drüber gucken und besten Gruß,
tedd ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 Fr 27.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo tedd,
> Bei folgenden Schritten bin ich mir total unsicher...
> Jetzt Klammern ausmultiplizieren:
>
> [mm]=-\bruch{12x-12x^4-9x^4}{(4-4x^3)\sqrt{1-x^3}}[/mm]
Bis hier habe ich - bei zügigem Durchlesen - keinen Fehler gesehen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Freilich hätte man direkt noch [mm] $-12x^4-9x^4$ [/mm] zusammenfassen können.
>
> [mm]=-\bruch{(3x)(4-4x^3)(-3x^3)}{(4-4x^3)\sqrt{1-x^3}}[/mm]
Hier wäre richtig gewesen:
[mm]=-\bruch{(3x)(4-4x^3-3x^3)}{(4-4x^3)\sqrt{1-x^3}}=-\bruch{(3x)(4-7x^3)}{(4-4x^3)\sqrt{1-x^3}}[/mm]
Schöne Grüße
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:37 Sa 28.06.2008 | | Autor: | tedd |
UIui
Danke Ardik irgendwie hatte ich das nach der ganzen umstellerei völlig übersehen obwohls ja total selbstverstädlich sein sollte.
Danke für die Korrektur und besten Gruß,
tedd
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