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Lineare Unabgängigkeit: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:26 Mo 31.03.2008
Autor: tobe

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die Funktionen [mm] f_{n} [/mm] : [mm] \IR \to \IR [/mm]    
[mm] f_{n}=e^{nx} n\varepsilon\IN [/mm] linear unabhängig sind.

Ich muss doch eigentlich nur beweisen, dass:
[mm] a_{1} e^{nx}+ a_{2} e^{(n-1)x} [/mm] + ... + [mm] a_{3} [/mm] e + [mm] a_{4} \not= [/mm] 0

mit [mm] a_{1}, a_{2}, a_{3} [/mm] ... [mm] \not=0 [/mm]

gilt oder? Doch ich weiss nicht so ganz wie ich das Anstellen soll.

Vielen Dank für eure Unterstützung :D

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Lineare Unabgängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:41 Mo 31.03.2008
Autor: angela.h.b.


> Zeigen Sie, dass die Funktionen [mm]f_{n}[/mm] : [mm]\IR \to \IR[/mm]    
> [mm]f_{n}=e^{nx} n\varepsilon\IN[/mm] linear unabhängig sind.
>  
> Ich muss doch eigentlich nur beweisen, dass:
>  [mm]a_{1} e^{nx}+ a_{2} e^{(n-1)x}[/mm] + ... + [mm]a_{3}[/mm] e + [mm]a_{4} \not=[/mm]
> 0
>  
> mit [mm]a_{1}, a_{2}, a_{3}[/mm] ... [mm]\not=0[/mm]
>  
> gilt oder?

Hallo,

nicht ganz:

Du mußt zeigen, daß aus

[mm] a_0e^0 [/mm] + [mm] a_1e^x [/mm] + [mm] a_2e^{2x} [/mm] + ... + [mm] a_ne^{nx}=0 [/mm]    ( Nullfunktion )

folgt, daß [mm] a_0=a-1=...=a_n=0 [/mm] gilt.

(Du hatest oben einen Exponenten vergessen und die Kontraposition meiner Aussage verwendet - letzteres ist nicht falsch, aber ich stell's mir schwierig vor.)

Den Beweis kannst Du mit vollständiger Induktion führen, versuch's mal.

(Wenn Du beim Induktionsschluß bist, benötigst Du zwei Tricks, welche ich Dir schonmal verrate: 1.ableiten, 2. Multiplikation mit [mm] e^{-x}) [/mm]

Gruß v. Angela



Bezug
                
Bezug
Lineare Unabgängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:01 Mo 31.03.2008
Autor: tobe

Zum Verständnis wiederhole ich noch einmal:
Ich muss also zeigen, dass der Term nur 0 werden kann, wenn [mm] a_{1} [/mm] , [mm] a_{2}, [/mm] ..., [mm] a_{n} [/mm] = 0 ist?

Lg Tobi


Bezug
                        
Bezug
Lineare Unabgängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:05 Mo 31.03.2008
Autor: angela.h.b.


> Zum Verständnis wiederhole ich noch einmal:
>  Ich muss also zeigen, dass der Term nur 0 werden kann,
> wenn [mm]a_{1}[/mm] , [mm]a_{2},[/mm] ..., [mm]a_{n}[/mm] = 0 ist?

Genau.

Gruß v. Angela


Bezug
        
Bezug
Lineare Unabgängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:07 Mo 31.03.2008
Autor: Merle23

Wurde schon mal vor kurzem gestellt und zufriedenstellend beantwortet:

Hier


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