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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:27 Di 18.03.2008 | | Autor: | hermes6 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Funktionen [mm] f_{n} [/mm] : [mm] \IR \to \IR f_{n}= e^{n*x} [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] linear unabhängig sind. |
Hallo!
Ich weiß zwar, wie ich die lineare Abhängigkeit bei (beschränkten) Funktionen überprüfen kann, aber bei diesem Beispiel habe ich keine Ahnung.
Mein Ansatz:
I: [mm] a*e^{x}+b*e^{x}*e^{x}+c*e^{x}*e^{x}*e^{x}+...........=0
[/mm]
x=0: a+b+c+d+..........=0
x=1: a*e+b*e*e+c*e*e*e+d*e*e*e*e+........=0
Kann ich jetzt einfach sagen, die linke Seite der Gleichung ist 0, wenn alle Koeffizienten 0 sind, weil ja e immer positiv ist, egal wie mein x lautet???
Danke für eure Hilfe.
Gruß, Hermes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:45 Di 18.03.2008 | | Autor: | pelzig |
Schonmal an vollständige Induktion gedacht... ? Geht natürlich nur falls du nur ne feste, aber endliche Anzahl $n$ von Funktionen betrachten musst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:04 Mi 19.03.2008 | | Autor: | hermes6 |
Bei diesem Beispiel soll aber keine vollständige Induktion gemacht werden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 Mi 19.03.2008 | | Autor: | pelzig |
Ich weiß nicht wie es ohne vollst. Induktion geht, denke aber dass es nicht viel eleganter geht.
Dein Argument geht jedenfalls so wie ich es verstanden habe nicht, denn die Koeffizienten $a,b,c,...$ müssen ja nicht alle positiv sein, also an der Stelle $x=0$ z.B. wäre die Gleichung ja auch für $a=1=-b$ und $c=d=...=0$ erfüllt.
Das hast du aber sicherlich auch schon bemerkt, also solltest du dein Argument vielleicht ein bisschen besser erklären.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:34 Mi 19.03.2008 | | Autor: | hermes6 |
Hm, vielleicht sollte ich doch eine vollständige Induktion in Betracht ziehen.
Meinst du das so:
Induktionsanfang: a*e = 0 [mm] \to [/mm] a=0
Behauptung: a*e+b*e*e+c*e*e*e+.....=0
Jetzt weiß ich nichtmehr weiter :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:10 Mi 19.03.2008 | | Autor: | pelzig |
Ja im Induktionsschritt musste zeigen, dass wenn deine Aussage für $n$ Funktionen klappt, dann klappt es auch für $n+1$ Funktionen.
Die Koeffizienten nenn ich jetzt mal nicht $a,b,c,...$ sondern [mm] $a_1,a_2,a_3,...$.
[/mm]
z.z.: [mm] $\left\{e^x,e^{2x},...,e^{nx}\right\}\mbox{ linear unabhängig}\Rightarrow\left\{e^x,e^{2x},...,e^{(n+1)x}\right\}\mbox{ linear unabhängig}$
[/mm]
Angenommen, es ist [mm] $$a_1e^x+a_2e^{2x}+...+a_{n+1}e^{(n+1)x}=0$$ [/mm] Dann folgt durch Multiplikation mit [mm] $e^{-x}\ne0$
[/mm]
[mm] $$a_1+a_2e^x+...+a_{n+1}e^{nx}=0$$ [/mm] Jetzt kann ich rechte und linke Seite differenzieren und es bleibt
[mm] $$a_2e^x+2a_3e^{2x}+...+na_{n+1}e^{nx}=0$$ [/mm] woraus nach Induktionsvoraussetzung [mm] $a_2=a_3=...=a_{n+1}=0$ [/mm] folgt, und somit auch [mm] $a_1=0$. \Box
[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Di 25.03.2008 | | Autor: | hermes6 |
Danke für deine Bemühung Robert.
Leider verstehe ich deine einzelnen Schritte noch nicht ganz.
Dividierst du durch [mm] e^{-x} [/mm] damit dir später beim Differenzieren a1 wegfällt? Warum darfst du danach die ganze Gleichung differenzieren bzw. wie kommst du darauf, dass du differenzieren musst?
Warum folgt aus deiner letzten Gleichung a2=a3=a4=.....=0 ?
Tut mir leid, dich so zu quälen.
Gruß, hermes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Di 25.03.2008 | | Autor: | pelzig |
> Dividierst du durch [mm]e^{-x}[/mm] damit dir später beim
> Differenzieren a1 wegfällt?
Ja.
> Warum darfst du danach die
> ganze Gleichung differenzieren?
Also die anschauliche Erklärung: Stell dir vor du hast zwei Funktionen $f,g$ die Gleich sind, d.h. ihr Graph sieht genauso aus. Dann ist doch der Anstieg (die "Ableitung") auch an jeder Stelle gleich. Dies zu beweisen ist ein anderes, ziemlich unspannendes Thema...
> Wie kommst du darauf,
> dass du differenzieren musst?
Naja, ich muss ja irgendwann die Induktionsvoraussetzung benutzen können. Die erfordert aber ne Gleichung der Form [mm] $c_1e^x+...+c_ne^{nx}=0$, [/mm] d.h. es dürfen da nur noch $n$ solche Summanden vorkommen, insbesondere kein Absolutglied. Den Trick mit dem Differentieren muss man halt kennen - aber jetzt kennst du ihn ja 
> Warum folgt aus deiner letzten Gleichung a2=a3=a4=.....=0 ?
Ja da benutze ich die Induktionsvoraussetzung, die ja besagt dass [mm] $\{e^x,e^{2x},...,e^{nx}\}$ [/mm] linear unabhängig ist. Daraus folgen dann zunächst die $n$ Gleichungen [mm] $a_2=0, 2a_3=0, [/mm] ..., [mm] na_{n+1}=0$ [/mm] und daraus [mm] $a_2=0, a_3=0,...a_{n+1}=0\Leftrightarrow a_2=a_3=...=a_{n+1}=0$. [/mm] Das setze ich dann in die zweite Gleichung ein und es folgt auch noch [mm] a_1=0, [/mm] und somit die lineare Unabhängigkeit von [mm] $\{e^x,...,e^{(n+1)x}\}$.
[/mm]
> Tut mir leid, dich so zu quälen.
Meine Schuld, unverständliche Antworten zu geben. ^^
Außerdem is mir jede Reaktion lieber als gar keine.
Gruß, Rob
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Mi 26.03.2008 | | Autor: | hermes6 |
Ok, danke für deine ausführliche Antwort. Das heißt, wenn eine Folge von Funktionen linear unabhängig bzw. linear abhängig ist, dann ist es ihre Ableitung ebenso. Kann man das so sagen?
Grüße, hermes
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> Das heißt, wenn
> eine Folge von Funktionen linear unabhängig bzw. linear
> abhängig ist, dann ist es ihre Ableitung ebenso. Kann man
> das so sagen?
Hallo,
nein, das stimmt nicht.
Betrachte [mm] f_1, f_2: \IR \to \IR
[/mm]
mit [mm] f_1(x):=x^2 [/mm] und [mm] f_2(x):=x^2+3.
[/mm]
Die beiden Funktionen sind linear unabhängig (Aufgabe für Dich...)
ihre Ableitungen jedoch sind gleich, also keinesfalls unabhängig.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Mi 26.03.2008 | | Autor: | hermes6 |
Würde es auch so gehen? :
Induktionsanfang: [mm] a_{1}*e^{x}=0 \rightarrow a_{1}=0
[/mm]
Induktionsbehauptung: [mm] a_{1}*e^{x}+a_{2}*e^{2x}+..........+a_{n}*e^{n}=0 \rightarrow [/mm] linear unabhängig
Induktionsschritt: [mm] a_{1}*e^{x}+a_{2}*e^{2x}+......+a_{n+1}*e^{n+1}=0
[/mm]
Nun kann ich die Behauptung [mm] a_{1}*e^{x}+a_{2}*e^{2x}+....+a_{n}*e^{n} [/mm] im Schritt mit 0 einsetzen, somit erhalte ich 0 + [mm] a_{n+1}*e^{n+1}=0 \rightarrow a_{n+1}=0
[/mm]
Gruß, hermes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Mi 26.03.2008 | | Autor: | pelzig |
> Würde es auch so gehen? :
> Induktionsanfang: [mm]a_{1}*e^{x}=0 \rightarrow a_{1}=0[/mm]
>
> Induktionsbehauptung:
> [mm]a_{1}*e^{x}+a_{2}*e^{2x}+..........+a_{n}*e^{n}=0 \rightarrow[/mm]
> linear unabhängig
> Induktionsschritt:
> [mm]a_{1}*e^{x}+a_{2}*e^{2x}+......+a_{n+1}*e^{n+1}=0[/mm]
> Nun kann ich die Behauptung
> [mm]a_{1}*e^{x}+a_{2}*e^{2x}+....+a_{n}*e^{n}[/mm] im Schritt mit 0
> einsetzen, somit erhalte ich 0 + [mm]a_{n+1}*e^{n+1}=0 \rightarrow a_{n+1}=0[/mm]
>
> Gruß, hermes
Nein, die Induktionsbehauptung darfste nicht verwenden, die willste ja beweisen. Du darfst nur die Induktionsvoraussetzung benutzen, aber die gilt eben nur wenn die Gleichung mit der $0$ nur $n$ solche Summanden besitzt.
Nochmal zur Erklärung:
Bei nem Induktionsbeweis haste ne Aussage $A(n)$, die von einer Zahl natürlichen Zahl n abhängt und die du für alle natürlichen Zahlen beweisen willst. Dazu musst du zwei Dinge machen:
(i) zeigen dass $A(1)$ wahr ist. Das ist der Induktionsanfang.
(ii) zeigen dass für festes, aber beliebiges $n$ aus der Induktionsvoraussetzung $A(n)$ die Induktionsbehauptung $A(n+1)$ folgt. Das ist der Induktionsschritt.
In deinem Beispiel oben ist [mm] $A(n):\mbox{ Die Menge der Funktionen }\{e^x, e^{2x}, ..., e^{nx}\}\mbox{ ist linear unabhängig }$.
[/mm]
Induktionsanfang ist klar, da musste [mm] $A(1)=\mbox{ Die Menge der Funktionen }\{e^x\}\mbox{ ist linear unabhängig }$ [/mm] beweisen.
Im Induktionsschritt sagst du "Angenommen A(n) ist wahr, dann ist auch A(n+1) wahr", d.h. du darfst nur die Induktionsvoraussetzug $A(n)$ benutzen um die Ind.-Behauptung $A(n+1)$ zu beweisen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Mo 31.03.2008 | | Autor: | tobe |
Ich sitze bei dem selben Problem. Hier nochmal meine Lösung genau aufgeschrieben.
Induktionsannahme: [mm] a_{1}e^{x} [/mm] + [mm] a_{2}e^{2x}+...+ a_{n}e^{nx}=0
[/mm]
Induktionsanfang: n=1 [mm] \to ae^{x}=0 \to [/mm] a=o
Induktionsbehauptung: [mm] a_{1}e^{x} [/mm] + [mm] a_{2}e^{2x}+...+ a_{n}e^{nx}+ a_{n+1}e^{n+1}=0
[/mm]
Behauptung * [mm] e^{-x}
[/mm]
[mm] \to a_{1} [/mm] + [mm] a_{2}e^{x}+a_{3}e^{2x}...+ a_{n+1}e^{nx}=0
[/mm]
Jetzt wird differenziert um auf die exakte Form der Induktionsannahme zu kommen
[mm] \to a_{2}e^{x} [/mm] + [mm] a_{3}e^{2x}+...+ a_{n+1}e^{nx}=0
[/mm]
[mm] \to [/mm] Beuhauptung=Annahme
[mm] \to a_{2}=a_{3}=a_{n+1}=0
[/mm]
[mm] \to [/mm] Einsetzten in Behauptung
[mm] \to a_{1}e^x=0 \to a_{1}=0
[/mm]
[mm] \to \to \to [/mm] Der ganze Term kann nur 0 werden, wenn alle [mm] a_{1}. a_{2} [/mm] ... gleich 0 Sind [mm] \to [/mm] linear unabhängig!
Ist das so richtig? Sind irgend welche Fehler drin? Ich verstehe noch nicht ganz warum man als Annahme das nimmt was laut aufgabenstellung zu Beweisen ist. Ich nehme ja etwas einfach als richtig an, ohne dass ich es weiss
P.s.: Sorry dass ich das Fass wieder aufgemacht habe :D
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> Ich sitze bei dem selben Problem. Hier nochmal meine Lösung
> genau aufgeschrieben.
Hallo,
Du mußt das, was zu zeigen ist, richtig aufschreiben, sonst gerätst Du ins Schwimmen.
Also
[mm] \underline{\underline{Behauptung}}: [/mm] die Funktionen [mm] e^x, e^{2x}, [/mm] ..., [mm] e^{nx} [/mm] sind linear unabhängig für alle [mm] n\in \IN.
[/mm]
>
>
[mm] >\underline{ Induktionsanfang}: [/mm] n=1
Sei [mm] a\in \IR [/mm] mit
[mm] ae^{x}=0 [/mm] für alle [mm] x\in \IR.
[/mm]
Da dies dann insbesondere für x=0 gilt, folgt hieraus [mm] 0=ae^0=a*1=a.
[/mm]
Also ist die Funktion [mm] e^x [/mm] linear unabhängig.
(Ich habe das jetzt betont ausführlich gemacht, was im Grunde nicht nötig wäre.)
> [mm] \underline{ Induktionsannahme}: [/mm]
Die Funktionen [mm] e^x, e^{2x}, [/mm] ..., [mm] e^{nx} [/mm] sind linear unabhängig für ein [mm] n\in \IN.
[/mm]
Dann folgt der Induktionsschluß. Hier ist unter der Voraussetzung, daß die Induktionsannahme richtig ist, die Behauptung auch für n+1 gilt.
[mm] \underline{Induktionsschluß}:
[/mm]
Zu zeigen: [mm] e^x, e^{2x}, [/mm] ..., [mm] e^{nx}, e^{(n+1)x} [/mm] sind linear unabhängig, dh.
aus [mm] a_1e^x+a_2e^{2x}+ ...+a_ne^{nx}+a_{n+1}e^{(n+1)x}=0 [/mm] folgt
[mm] a_1=...=a_n=a_{n+1}.
[/mm]
Bew.:
Seien [mm] a_1,...,a_n,a_{n+1}\in \IR [/mm] mit
> [mm]a_{1}e^{x}[/mm] + [mm]a_{2}e^{2x}+...+ a_{n}e^{nx}+ a_{n+1}e^{n+1}=0[/mm]
>
> Behauptung * [mm]e^{-x}[/mm]
ergibt
> [mm]\to a_{1}[/mm] + [mm]a_{2}e^{x}+a_{3}e^{2x}...+ a_{n+1}e^{nx}=0[/mm]
>
> Jetzt wird differenziert um auf die exakte Form der
> Induktionsannahme zu kommen
(Fürs Übungsblatt würde ich bloß "differenzieren" schreiben.)
> [mm]\to a_{2}e^{x}[/mm] + [mm]a_{3}e^{2x}+...+ a_{n+1}e^{nx}=0[/mm]
Du hast verkehrt bzw. gar nicht differenziert: die Ableitung von [mm] e^{7x} [/mm] ist doch [mm] 7e^{7x}.
[/mm]
Also erhältst Du
[mm] a_{2}e^{x}[/mm] [/mm] + [mm][mm] 2a_{3}e^{2x}+...+ na_{n+1}e^{nx}=0.
[/mm]
Jetzt kommt die Induktionsannahme ins Spiel. Wir hatten ja angenommen, daß [mm] e^x, e^{2x}, [/mm] ..., [mm] e^{nx} [/mm] linear unabhängig sind.
Was folgt hieraus? Versuch das jetzt zu Ende zu bringen.
> Ich
> verstehe noch nicht ganz warum man als Annahme das nimmt
> was laut aufgabenstellung zu Beweisen ist. Ich nehme ja
> etwas einfach als richtig an, ohne dass ich es weiss
Mach Dich zunächst gründlich mit dem Ablauf der vollständigen  Induktion vertraut.
In Büchern und im Forum finden sich viele Aufgaben dazu, nimm Dir erstmal leichte (Schulbuch?), um den Ablauf zu lernen.
Denn es ist zunächst (HÜ, Klausur) erstmal wichtig, Induktionsbeweise durchführen zu können - selbst wenn man nicht genau versteht, warum die Sache funktioniert.
Das Prinzip in Kürze:
Du nimmst an, daß eine Aussage für eine natürliche Zahl n gilt, und Du folgerst hieraus, daß sie dann auch für die jeweils drauffolgende Zahl n+1 gilt.
All das könnte wertlos sein, denn wie Du bemängelst, ist die Annahme ja gar nicht bewiesen.
Deshalb braucht man den Induktionsanfang. Hier zeigt man, daß die Aussage z.B. für n=1 gilt.
Und nun kann man die Früchte seiner Mühen ernten: man weiß, daß es auch für 1+1=2 gilt, daher auch für 2+1=3, für 3+1=4 und immer so weiter.
> P.s.: Sorry dass ich das Fass wieder aufgemacht habe :D
Wenn der Inhalt stimmt, sind wir diesbezüglich sehr aufgeschlossen!
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:12 Mo 31.03.2008 | | Autor: | pelzig |
Wollte nur mal ne Kleinigkeit anmerken: Die Induktionsannahme/Induktionsvoraussetzung lautet nicht "Die Funktionen ... sind lin. unabh. für alle [mm] $n\in\IN$", [/mm] sondern "für ein festes, beliebiges [mm] $n\in\IN$". [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Di 01.04.2008 | | Autor: | tobe |
Daraus folgt dass auch [mm] e^{x}, e^{2x}, [/mm] ..., [mm] e^{nx}, e^{(n+1)x} [/mm] linear unabhängig sind?
Das wichtige ist, dass man hieraus sieht, dass [mm] a_{2}=2a_{3}=,...,=na_{n+1}=0
[/mm]
Sorry dass ich erst so spät antworten kann und wahrscheinlich noch falsch. Lag gestern mit Fieber im Bett und konnte nicht mehr :D
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> Daraus folgt dass auch [mm]e^{x}, e^{2x},[/mm] ..., [mm]e^{nx}, e^{(n+1)x}[/mm]
> linear unabhängig sind?
Hallo,
ja.
Guck:
> Das wichtige ist, dass man hieraus sieht, dass
> [mm]a_{2}=2a_{3}=,...,=na_{n+1}=0[/mm]
und daraus folgt [mm] a_2=a_3=...=a_{n+1}=0.
[/mm]
Also ist
$ [mm] a_{1}e^{x} [/mm] $ + $ [mm] a_{2}e^{2x}+...+ a_{n}e^{nx}+ a_{n+1}e^{n+1}=0 [/mm] $
<==> [mm] a_{1}e^{x}=0,
[/mm]
und hieraus erhält man, daß [mm] a_1=0.
[/mm]
Insgesamt hast Du nun erreicht, daß Du gezeigt hast, daß mit der Induktionsannahme aus
[mm] a_{1}e^{x} [/mm] $ + $ [mm] a_{2}e^{2x}+...+ a_{n}e^{nx}+ a_{n+1}e^{n+1}=0 [/mm] folgt [mm] a_1=a_2=a_3=...=a_{n+1}=0,
[/mm]
also die lineare Unabhängigkeit der n+1 Funktionen.
Gruß v. Angela
>
> Sorry dass ich erst so spät antworten kann und
> wahrscheinlich noch falsch. Lag gestern mit Fieber im Bett
> und konnte nicht mehr :D
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Di 25.03.2008 | | Autor: | SEcki |
> Zeigen Sie, dass die Funktionen [mm]f_{n}[/mm] : [mm]\IR \to \IR f_{n}= e^{n*x}[/mm]
> n [mm]\in \IN[/mm] linear unabhängig sind.
[m]\forall x:\sum_{i=0}^p a_i*e^{n_i*x}=\sum_i^p a_i*(e^x)^{n_i}[/m]. Auf der rechten Seite steht ein Polynom, das für alle positiven Zahlen verschwindet. Damit ist es mit dem Nullpolynom identisch, das heißt [m]a_i=0\forall i[/m]. Ohne den Satz über Polynome muss man das von Hand beweisen, aber das wurd ja schon gemacht.
SEcki
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