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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Sa 01.12.2007 | | Autor: | ossi83 |
| Aufgabe | Für die linearen Unterräume [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] eines [mm] \IK- [/mm] VR V betrachte man die kanonischen Projektionen [mm] \pi_i:V\toV/U_i [/mm] mit [mm] i\in [/mm] {1,2}, sowie die Abbildung
[mm] (\pi_1,\pi_2):V\to(V/U_1)\times(V/U_2), x\mapsto (\pi_1(x),\pi_2(x))
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass [mm] (\pi_1,\pi_2) [/mm] linear ist, wenn man [mm] (V/U_1)\times(V/U_2) [/mm] mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation als [mm] \IK-VR [/mm] auffasst.
b) Zeigen Sie, dass [mm] (\pi_1,\pi_2) [/mm] genau dann injektiv ist, wenn [mm] U_1\cap U_2={0} [/mm] gilt.
c) Zeigen Sie, dass [mm] (\pi_1,\pi_2) [/mm] genau dann surjektiv ist, wenn [mm] V=U_1+U_2 [/mm] gilt.
d) Zeigen Sie, dass [mm] (\pi_1,\pi_2) [/mm] genau dann bijektiv ist, wenn [mm] V=U_1\oplus U_2 [/mm] gilt. |
Hallo Liebes Forum,
Bei der Aufgabe habe ich a) und b) bereits gelöst. War nicht ganz so schwierig.
Ich denke, dass ich die d) auch gelöst bekomme, da diese direkt aus b) und c) folgt.
Nun mein Problem: Teil c)
Die Rückrichtung habe ich bereits.
Nur krieg ich es nicht hin, unter der Vorraussetzung der Surjektivität zu folgern, dass dann [mm] V=U_1+U_2 [/mm] gilt.
Wenn [mm] (\pi_1,\pi_2) [/mm] surjektiv ist, dann kann man zu jedem
[mm] (v+U_1,v+U_2)\in (V/U_1)\times(V/U_2) [/mm] ein [mm] v\in [/mm] V finden
mit [mm] (\pi_1,\pi_2)(v)=(v+U_1,v+U_2)
[/mm]
Hab schon ein paar Sachen ausprobiert, aber irgendwie fehlt mir ein entscheidender Kniff um die Aufgabe zu lösen.
Wäre nett wenn mir jemand einen Tipp geben könnte.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
LG
ossi83
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> Für die linearen Unterräume [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] eines [mm]\IK-[/mm] VR V
> betrachte man die kanonischen Projektionen [mm]\pi_i:V\toV/U_i[/mm]
> mit [mm]i\in[/mm] {1,2}, sowie die Abbildung
> [mm](\pi_1,\pi_2):V\to(V/U_1)\times(V/U_2), x\mapsto (\pi_1(x),\pi_2(x))[/mm]
> c) Zeigen Sie, dass [mm](\pi_1,\pi_2)[/mm] genau dann surjektiv
> ist, wenn [mm]V=U_1+U_2[/mm] gilt.
> Nun mein Problem: Teil c)
> Die Rückrichtung habe ich bereits.
> Nur krieg ich es nicht hin, unter der Vorraussetzung der
> Surjektivität zu folgern, dass dann [mm]V=U_1+U_2[/mm] gilt.
Hallo,
ich schrieb vorhin bereits einem Kommilitonen, daß ich der Meinung bin, daß die Aussage, die Du nicht zeigen kannst, überhaupt nicht gilt.
EDITIERT:
aber ich habe mich diesbezüglich getäuscht!
Gruß v. Angela
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> Für die linearen Unterräume [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] eines [mm]\IK-[/mm] VR V
> betrachte man die kanonischen Projektionen [mm]\pi_i:V\toV/U_i[/mm]
> mit [mm]i\in[/mm] {1,2}, sowie die Abbildung
> [mm](\pi_1,\pi_2):V\to(V/U_1)\times(V/U_2), x\mapsto (\pi_1(x),\pi_2(x))[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass [mm](\pi_1,\pi_2)[/mm] linear ist, wenn man
> [mm](V/U_1)\times(V/U_2)[/mm] mit komponentenweiser Addition und
> Skalarmultiplikation als [mm]\IK-VR[/mm] auffasst.
> b) Zeigen Sie, dass [mm](\pi_1,\pi_2)[/mm] genau dann injektiv ist,
> wenn [mm]U_1\cap U_2={0}[/mm] gilt.
> c) Zeigen Sie, dass [mm](\pi_1,\pi_2)[/mm] genau dann surjektiv
> ist, wenn [mm]V=U_1+U_2[/mm] gilt.
> d) Zeigen Sie, dass [mm](\pi_1,\pi_2)[/mm] genau dann bijektiv ist,
> wenn [mm]V=U_1\oplus U_2[/mm] gilt.
> Die Rückrichtung habe ich bereits.
> Nur krieg ich es nicht hin, unter der Vorraussetzung der
> Surjektivität zu folgern, dass dann [mm]V=U_1+U_2[/mm] gilt.
>
> Wenn [mm](\pi_1,\pi_2)[/mm] surjektiv ist, dann kann man zu jedem
> [mm](v+U_1,v+U_2)\in (V/U_1)\times(V/U_2)[/mm] ein [mm]v\in[/mm] V finden
> mit [mm](\pi_1,\pi_2)(v)=(v+U_1,v+U_2)[/mm]
> Hab schon ein paar Sachen ausprobiert, aber irgendwie
> fehlt mir ein entscheidender Kniff um die Aufgabe zu
> lösen.
>
> Wäre nett wenn mir jemand einen Tipp geben könnte.
Hallo,
Du kannst das so zeigen:
Nimm an, daß [mm] (\pi_1, \pi_2):V\to(V/U_1)\times(V/U_2) [/mm] surjektiv ist,
und daß [mm] V\not=U_1+U_2.
[/mm]
Dann gibt es ein [mm] w\in [/mm] V \ [mm] (U_1+U_2).
[/mm]
Da die Abb. surjektiv ist, gibt es ein Element, welches auf [mm] (w+U_1, U_2) [/mm] abgebildet wird.
Führe dies zum Widerspruch.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:31 Di 04.12.2007 | | Autor: | ossi83 |
Ich möchte dir für deine Mühe danken.
Hab´s hingekriegt.
Lg
ossi
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