Surjektiv --> V=U1+U2 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Fr 30.11.2007 | | Autor: | Dave11 |
| Aufgabe | Für die linearen Unterräume [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] eines [mm] \IK [/mm] - VRs V betrachte man
die kanonischen Projektionen [mm] \pi_i:V\to(V/u_i) [/mm] mit i [mm] \in{1,2}, [/mm] sowie die Abbildung
[mm] (\pi_1,\pi_2):V\to(V/U_1)\times(V/U_2) [/mm] x [mm] \to (\pi_1(x),\pi_2(x))
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] (\pi_1,\pi_2) [/mm] surjektiv [mm] \gdw V=U_1+U_2 [/mm] gilt. |
Guten Tag zusammen,
ich sitze hier seit 2 Stunden und kriege die Aufgabe irgendwie nicht gelöst.
Die Rückrichtung habe ich schon gelöst nur kriege ich die Hinrichtung nicht hin.
Für Surjektiv gilt ja
[mm] \forall(v+U_1,v+U_2) \exists [/mm] v [mm] \in [/mm] V mit [mm] (\pi_1,\pi_2)(v)=(\pi_1(v),\pi_2(v))=(v+U_1,v+U_2 [/mm] )........
[mm] .......\Rightarrow u_1+u_2=v [/mm] dh. [mm] U_1+U_2=V
[/mm]
Dahin muss ich irgendwie kommen und bin hier am verzweifeln.
Würde mich freuen wenn mir da jemand helfen würde.
MFG DAVE
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> Für die linearen Unterräume [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] eines [mm]\IK[/mm] - VRs V
> betrachte man
> die kanonischen Projektionen [mm]\pi_i:V\to(V/u_i)[/mm] mit i
> [mm]\in{1,2},[/mm] sowie die Abbildung
>
> [mm](\pi_1,\pi_2):V\to(V/U_1)\times(V/U_2)[/mm] x [mm]\to (\pi_1(x),\pi_2(x))[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass [mm](\pi_1,\pi_2)[/mm] surjektiv [mm]\gdw V=U_1+U_2[/mm]
> gilt.
> Guten Tag zusammen,
>
> ich sitze hier seit 2 Stunden und kriege die Aufgabe
> irgendwie nicht gelöst.
> Die Rückrichtung habe ich schon gelöst nur kriege ich die
> Hinrichtung nicht hin.
EDITIERT:
Rockes Einwand ist berechtigt.
Mein unten vorgestelltes Gegenbeispiel ist keins, weil es nicht surjektiv ist:
Man findet kein [mm] v\in [/mm] V, welches auf [mm] (\vektor{0 \\ 5\\3}+U_1 [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 0\\7}+U_2) [/mm] abgebildet wird, und anhand v. Dimensionsüberlegungen hätte (!) mir das sofort klar sein sollen.
ALT:
Hallo,
bist Du Dir sicher, daß das gilt?
Ich meine, daß es nicht gilt.
Ich nehme als Vektorraum den [mm] \IR^3, [/mm] als [mm] U_1 [/mm] die x-Achse und als [mm] U_2 [/mm] die y-Achse.
Dann ist doch
[mm] (\pi_1,\pi_2): \IR^3\to (\IR^3/U_1)\times(\IR^3/U_2) [/mm] surjektiv, oder übersehe ich etwas???
Davon jedoch, daß [mm] \IR^3=U_1+U_2, [/mm] kann nicht die Rede sein.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:54 Sa 01.12.2007 | | Autor: | Rockes |
ja da übersiehst du was. beide quotienten sind isomorph zum [mm] \IR^2 [/mm] - du hast also ne lineare abbildung vom [mm] \IR^3 [/mm] in den [mm] \IR^4, [/mm] da die Peanokurve da wohl rausfällt ist das ganz sicher nicht surjektiv
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du hast natürlich recht, danke!
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:36 Sa 01.12.2007 | | Autor: | Rockes |
vielen dank! ich hab mich heute auch ein bisschen mit der aufgabe beschäftigt und zum glück doch eine lösung gefunden die ich auch schon getext habe um sie dem assistenten des profs zu schicken für den ich tutor in la2 spiele (er hatte auch noch keine akzeptable lösung^^). montag ist abgabe, danach kann ich die lösung auch gerne hier veröffentlichen... sonst besorgt sich das wieder jeder vorher hier wenn ichs jetzt uppe
lg - matthias
jetzt zu dave11 aus der andern Gruppe (du weißt wer ich bin^^) :-P versuch mal selber deinen Kopf anzustrengen^^
und verwend mal verschiedene buchstaben^^ wähl dir ein v und ein w beliebig vor, betrachte zu einem v + [mm] U_1 [/mm] zum andern w + [mm] U_2, [/mm] dann kannst du wegen der surjektivität sagen dass es ein x aus V gibt so dass v + [mm] U_1 [/mm] = x + [mm] U_1 [/mm] ist und w + [mm] U_2 [/mm] = x + [mm] U_2, [/mm] so nun nimmste dir passende elemente aus [mm] U_i [/mm] und stellst eine relation zwischen v,w und den [mm] u_i's [/mm] auf und dann noch ein kleiner trick und du bist fertig
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:52 So 02.12.2007 | | Autor: | Dave11 |
Ok ich habe es jetzt, danke Rockes...
MFG Dave
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