Isomorph < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sind [mm] \IZ_3 [/mm] und [mm] \IZ_4 [/mm] als Ringe isomorph? |
Ich kann damit nix anfangen. Kann mir wer helfen?
Also...
Ich muss zweigen den Gruppenhomomorphismus
denn Ringhomomorphismus
und die bijektivität.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 So 06.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sind [mm]\IZ_3[/mm] und [mm]\IZ_4[/mm] als Ringe isomorph?
> Ich kann damit nix anfangen. Kann mir wer helfen?
(Das wurde uebrigens schon hier (mit-)gefragt.)
> Also...
> Ich muss zweigen den Gruppenhomomorphismus
> denn Ringhomomorphismus
> und die bijektivität.
Falls es einen Ringhomomorphismus zwischen diesen beiden Ringen gibt, so auch eine bijektive Abbildung. Und wenn es zwischen zwei endlichen Mengen eine bijektive Abbildung gibt, koennen diese dann unterschiedlich viele Elemente haben?
LG Felix
|
|
|
| |
|
> (Das wurde uebrigens schon hier (mit-)gefragt.)
Aber nicht beantwortet
> Falls es einen Ringhomomorphismus zwischen diesen beiden Ringen gibt, so auch eine bijektive Abbildung. Und wenn es zwischen zwei endlichen Mengen eine bijektive Abbildung gibt, koennen diese dann unterschiedlich viele Elemente haben?
Nein sie können nicht bijektiv sein. also ist es kein Ringisomorphismus.
Aber wie zeige ich den Gruppenhomomorphismus und den Ringhomomorphismus, dass sie gelten bzw. nicht gelten??
Gruppenhomomorphismus heißt: Es ist egal ob man zuerst in [mm] \IZ_3 [/mm] verknüpft und dann nach [mm] \IZ_4 [/mm] abbildet oder zuerst nach [mm] \IZ_4 [/mm] abbildet und dann dort verknüpft.
aber wie zeige ich das???
φ(a + b) = φ(a) + φ(b)
Und bei Ringhomomorphsimus?
[mm] \varphi(a \cdot [/mm] b)= [mm] \varphi(a) \cdot \varphi(b).
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 So 06.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > (Das wurde uebrigens schon hier (mit-)gefragt.)
>
> Aber nicht beantwortet
Doch, es wurde beantwortet 
> > Falls es einen Ringhomomorphismus zwischen diesen beiden
> Ringen gibt, so auch eine bijektive Abbildung. Und wenn es
> zwischen zwei endlichen Mengen eine bijektive Abbildung
> gibt, koennen diese dann unterschiedlich viele Elemente
> haben?
>
> Nein sie können nicht bijektiv sein. also ist es kein
> Ringisomorphismus.
Genau.
> Aber wie zeige ich den Gruppenhomomorphismus und den
> Ringhomomorphismus, dass sie gelten bzw. nicht gelten??
Wozu? Du weisst doch schon, dass es keinen Gruppenisomorphismus gibt, und damit sind die Gruppen nicht isomorph. Damit bist du fertig.
LG Felix
|
|
|
| |
|
ich möchte es aber trotzdem wissen...
> Aber wie zeige ich den Gruppenhomomorphismus und den
> Ringhomomorphismus, dass sie gelten bzw. nicht gelten??
> Gruppenhomomorphismus
Es ist egal ob man zuerst in $ [mm] \IZ_3 [/mm] $ verknüpft und dann nach $ [mm] \IZ_4 [/mm] $ abbildet oder zuerst nach $ [mm] \IZ_4 [/mm] $ abbildet und dann dort verknüpft.
φ(a + b) = φ(a) + φ(b)
> Ringhomomorphsimus
$ [mm] \varphi(a \cdot [/mm] $ b)= $ [mm] \varphi(a) \cdot \varphi(b). [/mm] $
Wie zeigt man es aber?
|
|
|
| |
|
Du willst also eine solche Abbildung [mm] $\phi$ [/mm] finden?
Überleg dir hierzu mal, was folgende Werte ergeben:
[mm] $\varphi(1+1+1)$, $\varphi(2+2+2)$
[/mm]
Wenn [mm] $\varphi$ [/mm] additiv sein soll gibt es nur eine Abbildung, mit der das passt.
Mit dieser kannst du dann ggf. nachrechnen, ob die anderen Bedingungen (Multiplikativität, etc.) gelten.
lg
Schadow
|
|
|
|
