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Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt:
Hallo!
Ich habe hier die Funktion [mm] f/x^2.
[/mm]
Nun geht es darum, im Intervall (0,1) gleichmäßige Stetigkeit nachzuweisen / zu widerlegen.
definitionsgemäß muss man jetzt ja:
| [mm] \bruch{1}{a^2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{b^2} [/mm] | < [mm] \varepsilon.
[/mm]
mit | a - b | < [mm] \delta [/mm] nachweisen.
Wie kriegt man das klein?
Viele Grüße und n-Dank! (n [mm] \to [/mm] 1000)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:58 Di 11.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Meister_Yodi,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt:
>
>
> Hallo!
>
> Ich habe hier die Funktion [mm]f/x^2.
[/mm]
Du meinst:
$x [mm] \mapsto f(x)=\frac{1}{x^2}$, [/mm] nehme ich an!
> Nun geht es darum, im Intervall (0,1) gleichmäßige
> Stetigkeit nachzuweisen / zu widerlegen.
> definitionsgemäß muss man jetzt ja:
> | [mm]\bruch{1}{a^2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{b^2}[/mm] | < [mm]\varepsilon.
[/mm]
> mit | a - b | < [mm]\delta[/mm] nachweisen.
>
> Wie kriegt man das klein?
Ähem:
Du wirst keine gleichmäßige Stetigkeit nachweisen können, denn die Funktion ist nicht gleichmäßig stetig.
Eine Beweisidee dazu kannst du z.B. diesem Beitrag entnehmen. Gehe einfach mal vollkommen analog dazu vor (was ist bei dir z.B. [mm] $\lim_{x \to 0}f(x)$?).
[/mm]
Eigentlich wollte ich dir einen anderen Beweis liefern, aber nachdem ich mich nun andauernd verrechnet habe, habe ich mich entschlossen, dass doch besser erst einmal zu lassen.
Viele Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:17 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Meister_Yodi!
Jetzt ein alternativer Beweis (falls dir die andere Methode nicht klar ist):
Wir betrachten $f: (0,1) [mm] \to \IR$, $f(x)=\frac{1}{x^2}$ [/mm] und zeigen, dass [m]f[/m] nicht gleichmäßig stetig ist.
Beweis.
Sei [mm] $\varepsilon=1 [/mm] > 0$ und wir zeigen:
Für jedes [mm] $\delta [/mm] > 0$ existieren [mm] $x_\delta,y_\delta \in [/mm] (0,1)$, so dass, obwohl [mm] $|x_\delta-y_\delta|<\delta$ [/mm] erfüllt ist, trotzdem [m]|f(x_\delta)-f(y_\delta)|>1=\varepsilon[/m] gilt.
Wir beachten nun:
Es genügt, die Behauptung für alle [mm] $\delta \in [/mm] (0,1)$ nachzuweisen.
(Falls das jemandem nicht genügen sollte:
Ist [mm] $\delta \ge [/mm] 1$, so setzen wir [mm] $x:=x_\delta:=\frac{1}{2}$ [/mm] und [m]y:=y_\delta:=\frac{1}{4}[/m]. Dann gilt sicherlich:
[mm] $|x-y|=\frac{1}{4}<1\le \delta$, [/mm] aber trotzdem:
[m]|f(x)-f(y)|=\left|\frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2}-\frac{1}{\left(\frac{1}{4}\right)^2}\right|=16-4=12>1=\varepsilon[/m].)
Sei nun also [mm] $\delta \in [/mm] (0,1)$ beliebig, aber fest. Dann gilt für [m]x:=x_\delta:=\delta[/m] und [m]y:=y_\delta:=\frac{\delta}{2}[/m] zunächst:
(1) Wegen [mm] $\delta \in [/mm] (0,1)$ ist auch [mm] $(\,\delta=\,)x \in [/mm] (0,1)$.
(2) Wegen [mm] $\delta \in [/mm] (0,1)$ ist [mm]y=\frac{\delta}{2} \in \left(0,\frac{1}{2}\right) \subset (0,1)[/mm], also auch $y [mm] \in [/mm] (0,1)$.
Und obwohl
(3) [mm] $|x-y|=\delta-\frac{\delta}{2}=\frac{\delta}{2}<\delta$ [/mm] gilt, gilt auch:
(4) [mm]|f(x)-f(y)|
=\left|\frac{1}{\delta^2}-\frac{1}{\left(\frac{\delta}{2}\right)^2}\right|
=\frac{4}{\delta^2}-\frac{1}{\delta^2}
=\frac{3}{\delta^2}\stackrel{(\star)}{>} \frac{3}{1}=3>1=\varepsilon[/mm].
Folglich ist $f$ nicht glm. stetig!!! [mm] $\Box$
[/mm]
(Bemerkung:
Hierbei ergibt sich die Abschätzung [mm] $(\star)$ [/mm] wie folgt:
Wegen [m]\delta \in (0,1)[/m] folgt [mm] $\delta^2 \in [/mm] (0,1)$, d.h. [m]0 < \delta^2 < 1[/m]. Daraus ergibt sich aber [mm] $\frac{1}{\delta^2}>1$, [/mm] was wiederum [mm] $\frac{3}{\delta^2} [/mm] > 3$ impliziert.)
Viele Grüße,
Marcel
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Vielen Dank für diese sehr ausführlich Antworten.
Sie ist für mich ein weiteres wichtiges Teil im "Puzzlespiel" Analysis :)
Grüße!
Jodi
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