gleichmässig stetig < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 02:57 Do 23.12.2004 | | Autor: | Sauerstoff |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen
Gleichmässig stetig?
Ist die Funktion f:(0,1) --> R ,$ [mm] f(x)=\frac{17x+5}{x^3-x^2+x-1}$ [/mm] gleichmässig stetig?
Da Nenner für 1 null ist, muss die Funktion an dieser Stelle überprüft werden. Aber ich bin nicht ganz sicher. Wer könnte mir helfen?
Danke vielmals im Voraus
Sauerstoff
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Do 23.12.2004 | | Autor: | bolzano |
Die Funktion f ist auf (0;1) nicht gleichmäßig stetig.
Ich muss zeigen
für alle [mm] \delta [/mm] und [mm] \varepsilon [/mm]
existieren immer x' und x mit
1) |x - x'| < [mm] \delta [/mm] gilt |f(x) [mm] -f(x')|>\varepsilon.
[/mm]
zunächts stellt man fest: f wächst für x-> 1 über alle Grenzen
[mm] \limes_{x\rightarrow 1}f(x) [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
dann gilt aber auch
[mm] \limes_{x\rightarrow 1}|f(x) [/mm] -f(1 - [mm] \delta) [/mm] | = [mm] \infty [/mm] ,
woraus 1) folgt ( x' = 1- [mm] \delta) [/mm]
Gruß Uwe Lange
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:17 Do 23.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Uwe,
> Die Funktion f ist auf (0;1) nicht gleichmäßig stetig.
>
>
> Ich muss zeigen
>
> für alle [mm]\delta[/mm] und [mm]\varepsilon[/mm]
>
> existieren immer x' und x mit
>
> 1) |x - x'| < [mm]\delta[/mm] gilt |f(x) [mm]-f(x')|>\varepsilon.
[/mm]
Ich habe ein paar kleine Bemerkungen:
Die Verneinung der gleichmäßigen Stetigkeit lautet hier konkret:
[mm] $\exists \varepsilon [/mm] > 0$: [mm] $\forall \delta [/mm] > 0$: [mm] $\exists [/mm] x,x' [mm] \in [/mm] (0;1)$, [m]|x-x'|<\delta[/m] mit [mm] $|f(x)-f(x')|>\varepsilon$.
[/mm]
Das zeigst du natürlich insbesondere!
>
>
> zunächts stellt man fest: f wächst für x-> 1 über alle
> Grenzen
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1}f(x)[/mm] = [mm]\infty
[/mm]
Entweder du meinst:
[mm]\limes_{x\rightarrow 1}|f(x)| = \infty[/mm], oder aber es ist hier ein kleiner Fehler vorhanden:
[mm]\limes_{x\rightarrow \red{1^-}}f(x) = \red{-}\infty[/mm]
Jedenfalls: [m]\limes_{x \to 1} f(x)[/m] existiert gar nicht (wenn man [m]\infty[/m] als Grenzwert zuläßt) (da der linksseitige Grenzwert von $f$ an der Stelle $1$ [mm] $-\infty$ [/mm] ist, der rechtsseitige aber [mm] $+\infty$. [/mm] Okay, $f$ ist nur auf $(0;1)$ definiert, deshalb sollte ich vielleicht gar nicht von einem rechtsseitigen Grenzwert sprechen. Vielleicht einigt man sich normalerweise dann in Fällen wie diesen darauf, hier [m]\limes_{x \to 1} f(x)[/m] mit [m]\limes_{x \to 1^{\red{-}}}f(x)[/m] zu identifizieren; ich weiß es momentan nicht! ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") . Aber auch dann müßte oben [m]\limes_{x \to 1}f(x)=\red{-}\infty[/m] stehen!).
Und noch eine letzte, hier aber durchaus wichtige, Bemerkung:
Bei deiner Definition von $x'$ solltest du vielleicht erwähnen, dass du o.B.d.A. [mm] $\delta \in [/mm] (0;1)$ annehmen darfst!
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:41 Do 23.12.2004 | | Autor: | bolzano |
Hallo Marcel,
bin noch ein wenig ungeübt mit dem schreiben,
allso erste Anmerkug, klar hätte schreiben müssen,
"es genügt zu zeigen.. " oder so ähnlich statt "ich muss zeigen" sorry,
zweite Anmerkung: meinte lim x-> 1, der existiert für den angegebenen Definitionsbereich (0,1), wen man den Abschluss von [mm] \IR [/mm] zugrunde legt.
bei der dritte Anmerkung stimme wieder zu klar
gruß Uwe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:51 Do 23.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Uwe,
ich will dich auch mal begrüßen, das hätte ich eben schon tun sollen, sorry:
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> Hallo Marcel,
>
> bin noch ein wenig ungeübt mit dem schreiben,
>
> allso erste Anmerkug, klar hätte schreiben müssen,
>
> "es genügt zu zeigen.. " oder so ähnlich statt "ich muss
> zeigen" sorry,
Auch sorry, ich wollte nur klarstellen, dass das nicht die genaue Verneinung der gleichmäßigen Stetigkeit ist. Das wird nämlich irgendwie suggeriert (zumindest mir  ).
> zweite Anmerkung: meinte lim x-> 1, der existiert für den
> angegebenen Definitionsbereich (0,1), wen man den
> Abschluss von [mm]\IR[/mm] zugrunde legt.
Okay, ich hatte zwischendurch auch meine Bemerkung etwas geändert, weil ich wohl den Def.-Bereich aus den Augen verloren hatte; ich war mir aber nicht ganz sicher.
Dann würde man hier also [mm] $\limes_{x \to 1}f(x)$ [/mm] mit [m]\limes_{x \to 1^{\red{-}}}f(x)[/m] identifizieren. Okay, Danke! 
Aber dann muß es lauten: [m]\limes_{x \to 1}f(x)=\red{-} \infty[/m].
Tschuldigung, ich bin immer etwas pingelig!
> bei der dritte Anmerkung stimme wieder zu klar
Ich hoffe nur, ich habe dich nicht verschreckt!
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 Do 23.12.2004 | | Autor: | bolzano |
O.k.
also Änderung
" zunächts stellt man fest: |f | wächst für x-> 1 über alle Grenzen also
| [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1} [/mm] f(x) | = [mm] \infty [/mm] , D=(0;1) ....."
der Rest ist schon besprochen, bzw kann so bleiben.
Gruß Uwe
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Hallo Uwe
Danke vielmals für deine Lösung. Aber das habe ich nicht genau verstanden. Kannst du das ein bisschen ausführlich erklären? Wie zeigst du das?
[mm] \limes_{x\rightarrow 1}|f(x) [/mm] -f(1 - [mm] \delta) [/mm] | = [mm] \infty
[/mm]
Danke im Voraus
Sauerstoff> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Hallo zusammen
>
> Gleichmässig stetig?
>
> Ist die Funktion f:(0,1) --> R ,[mm] f(x)=\frac{17x+5}{x^3-x^2+x-1}[/mm]
> gleichmässig stetig?
> Da Nenner für 1 null ist, muss die Funktion an dieser
> Stelle überprüft werden. Aber ich bin nicht ganz sicher.
> Wer könnte mir helfen?
>
> Danke vielmals im Voraus
>
> Sauerstoff
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:50 Fr 07.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
die Funktion war ja [m]f: (0,1) \to \IR,\;\;\; f(x)=\frac{17x+5}{x^3-x^2+x-1} [/m].
Für jedes [mm] $0<\delta<1$ [/mm] ist $ [mm] |f(1-\delta)| [/mm] < [mm] \infty$, [/mm] jedoch ist
[m]\lim_{x \to 1} f(x)=\lim_{x \to 1}\frac{17x+5}{x^3-x^2+x-1}=:g[/m],
und ich behaupte jetzt, dass [mm] $g=-\infty$ [/mm] ist (wenn man [mm] $\pm \infty$ [/mm] als Grenzwert zuläßt).
Denn:
Bei [mm] $\frac{17x+5}{x^3-x^2+x-1}$ [/mm] strebt der Zähler bei $x [mm] \to [/mm] 1^-$ (also, wenn man $x$ "von links" gegen 1 laufen läßt) gegen den Wert $22$ (was $> 0$ ist), der Nenner ist für $x [mm] \in [/mm] (0,1)$ stets $<0$ und strebt gegen $0$ (bei $x [mm] \to [/mm] 1^-$) (m.a.W.: Der Nenner strebt "von links" gegen die Null, wenn man $x$ "von links" gegen $1$ laufen läßt).
(Beachte: Hier soll vereinbart werden, dass [m]\lim_{x \to 1}f(x)[/m] mit [m]\lim_{x \to 1^-}f(x):=\lim_{x < 1,\; x \to 1}f(x)[/m] identifiziert wird, da ja $f$ nur auf $(0,1)$ definiert ist).
Damit ergibt sich:
[mm] $g=-\infty$
[/mm]
und daraus folgt (da [mm] $-\infty [/mm] < [mm] f(1-\delta) [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] für jedes feste [m]\delta \in (0,1)[/m] gilt):
[mm] $\lim_{x \to 1} |f(x)-f(1-\delta)|=\infty$ [/mm]
Viele Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:13 Fr 07.01.2005 | | Autor: | Sauerstoff |
hallo Marcel
Wunderbar! Danke vielmals für deine Lösung. Du hast mir wirklich gut geholfen.
Besten Dank
Sauerstoff
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