Faltung von Rechtecksignalen < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | gegeben: [mm] s_{1}(t)=\begin{cases} A_{1}, & \mbox{für } 0
[mm] s_{2}(t)=\begin{cases} A_{2}, & \mbox{für } 0
[mm] A_1
Berechnen Sie g(t) als Faltung von [mm] s_1 [/mm] und [mm] s_2 [/mm] |
Hallo,
Ich glaub, das ist ein total triviales Problem, aber ich komm einfach nicht weiter:
Bisher hab ich Folgendes geschafft: [mm] s_1 [/mm] wurde an der y-Achse gespiegelt und "durch" [mm] s_2 [/mm] "bewegt". Dabei sind 3 Fälle relevant für die Faltung:
1.) 0 [mm] \le [/mm] t < [mm] T_1 (s_1 [/mm] tritt in [mm] s_2 [/mm] ein)
2.) [mm] T_1\le [/mm] t < [mm] T_2 (s_1 [/mm] vollständig innerhalb von [mm] s_2)
[/mm]
3.) [mm] T_2 \le [/mm] t < [mm] T_2+T_1 (s_1 [/mm] tritt wieder aus)
Die zugehörigen Integralgrenzen hab ich auch bestimmen können:
zu 1.) [mm] \integral_{0}^{t}{f(\tau) d\tau}
[/mm]
zu 2.) [mm] \integral_{t-T_1}^{t}{f(\tau) d\tau}
[/mm]
zu3.) [mm] \integral_{t-T_1}^{T_2}{f(\tau) d\tau}
[/mm]
Aber jetzt weiß ich nicht weiter. Eigentlich müsste ich jetzt die Funtionen ins Faltungsintegral
[mm] \integral{s_2(\tau)s_1(\tau) d\tau} [/mm] einsetzten und das für die drei Fälle lösen, aber ich komm beim besten Willen nicht darauf, wie ich das bewerkstelligen soll.
Gruß,
Christoph
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:57 Fr 11.09.2009 | | Autor: | chrisno |
Schau Dir mal die Animation und nur die in Wikipedia an. Du musst nur wenig ändern,um schon das Ergebnis für Deine Aufgabe zu erhalten.
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Jo, ich weiß wohl, dass da am Ende ein Trapez raukommen muss. Es haperte nur am Weg dorthin...
Gruß,
Christoph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:13 Fr 11.09.2009 | | Autor: | chrisno |
Schreib erst mal das Faltungsintegral richtig und vollständig, mit Grenzen, hin.
Nimm mal den zweiten Fall:
beide Funktionen werden nur zu Zeiten ausgewertet, in denen sie den Wert [mm] A_1 [/mm] beziehungsweise [mm] A_2 [/mm] haben. Die t-Abhängigkeit ist nicht mehr gegeben. Also integrierst Du über konstante. t taucht nirgendwo mehr auf, also ist in disem Interwall das Ergebnis der Faltung eine Konstante.
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> Schreib erst mal das Faltungsintegral richtig und
> vollständig, mit Grenzen, hin.
Eigentlich besteht mein Problem genau darin, dass ich keine Idee habe, was ich ins Integral schreiben muss und wie ich darauf komme...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 Sa 12.09.2009 | | Autor: | Infinit |
Das Auffinden der Integralgrenzen ist bei diesen Aufgaben das größte Problem. Ein Signal bleibt wie es ist, das zweite wird an der y-Achse gespiegelt und dies ist die Position für das Faltungsintegral
$$ g(t) = [mm] \int u(\tau) v(t-\tau) \, [/mm] d [mm] \tau [/mm] $$
für t = 0. Das gespiegelte Signal nach rechts verschieben, ergibt die Faltung für positive t, das gespiegelte Signal nach links schieben, ergibt die Faltung für negative t.
Schaue Dir doch mal diesen Thread an, da haben Reicheinstein und ich das Ganze mal durchgespielt und damit solltest auch Du zu den richtigen Integralgrenzen kommen.
Viele Grüße,
Infinit
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Also stimmen meine Integralgrenzen nicht?
Hab ich das jetzt richtig verstanden, dass ich bei zwei Rechtecken nur Konstanen integriere und dann [mm] A_1*A_2*(Obergrenze-Untergrenze) [/mm] rauskriege? Den Gedanken hatte ich nämlich schonmal verworfen, weil ich beim Eintrittsfall ein negatives Ergebnis rausbekommen hätte...
Ich brauch dann wohl Hilfe bei der Bestimmung der Integralgrenzen. Ich kann Reichensteins Bereichseinteilung schon nicht nachvollziehen. Müsste es bei I nicht t<T heißen? Nach der Spiegelung müsste man v doch um mindestens T verschieben, um ein Ergebnis [mm] \not=0 [/mm] zu erhalten, oder? Und wie daraus dann die Integralgrenzen werden, versteh ich überhaupt nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Sa 12.09.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo Christoph,
das stimmt nur dann, wenn es sich um Rechtecksignale handelt und sich beide voll überlappen. Liegt eine der Rechteckgrenzen im Bereich der Grenzen des zweiten Rechtecks, so hat man keine volle Überlappung mehr. Deine Integralgrenzen für den zweiten Fall sind deswegen verkehrt, wie chrisno schon sagte. Wir befinden uns mit der Variablen t im Bereich zwischen T1 und T2, arbeite ich mit der Spiegelung des zweiten Rechtecks, also mit dem mit der Amplitude A2 so liegen für die oben genannten t-Werte die Grenzen dieses Rechtecks zwischen -T2 + t und t, t ist aber größer als T1 und damit ist T1 die obere Integralgrenze und 0 die untere. Male es Dir mal hin, das macht die Sache einfacher.
Ich behaupte, das Integral für diesen Zeitbereich lautet:
$$ [mm] \int_0^{T_1} A_1 \cdot A_2 \, d\tau \, [/mm] . $$
Viele Grüße,
Infinit
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Entschuldige bitte, aber ich kann deine Argumentation überhaupt nicht nachvolziehen.
> das stimmt nur dann, wenn es sich um Rechtecksignale
> handelt und sich beide voll überlappen.
Worauf beziehst sich das?
> Liegt eine der
> Rechteckgrenzen im Bereich der Grenzen des zweiten
> Rechtecks, so hat man keine volle Überlappung mehr. Deine
> Integralgrenzen für den zweiten Fall sind deswegen
> verkehrt, wie chrisno schon sagte. Wir befinden uns mit der
> Variablen t im Bereich zwischen T1 und T2, arbeite ich mit
> der Spiegelung des zweiten Rechtecks
Ich arbeite aber doch mit der Spiegelung von [mm] s_1, [/mm] also mit dem Rechteck mit der Ampliude [mm] A_1.
[/mm]
> Amplitude A2 so liegen für die oben genannten t-Werte die
> Grenzen dieses Rechtecks zwischen -T2 + t und t, t ist aber
> größer als T1 und damit ist T1 die obere Integralgrenze
> und 0 die untere. Male es Dir mal hin, das macht die Sache
> einfacher.
Diese Argumentation verstehe ich überhaupt nicht.
Ich versuch mal, meinen Gedankengang hier aufzuschreiben, vielleicht macht das die Sache einfacher:
1) Das kleinere Rechteck wird an y gespiegelt und um t verschoben.
2) Sobald t im Bereich zwischen [mm] T_1 [/mm] und [mm] T_2 [/mm] liegt, befindet sich das kleine Rechteck vollständig im Großen
3) Mit dem Integral bestimme ich die Fläche, die von beiden Rechtecken gleichzeitig eingeschlossen wird. Im Fall [mm] T_1\le [/mm] t < [mm] T_2 [/mm] ist die Fläche konstant die unter dem kleineren Rechteck
4) Laut deiner Aussage muss ich also über die Länge des großen Rechtecks integrieren anstatt nur über die des Kleinen innerhalb des Großen, egal an welcher Stelle innerhalb des Großen sich das kleine Rechteck befindet?
Hab ich das außerdem richtig verstanden, dass die anderen beiden Integralgrenzen stimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Sa 12.09.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo Christoph,
ich hatte hier munter drauf los gerechnet und hatte nicht mehr auf die von Dir benutzte Spiegelung geachtet. Macht nichts, dann haben wir eine gute Kontrolle.
Also, bei der Spiegelung des kleinen Signals bekommst Du wirklich die beiden von Dir genannten Integralgrenzen raus, aber auch mit meiner Methode sollten wir auf das Gleiche kommen.
In diesem Bereich zwischen T1 und T2 bekommt man das Faltungsintegral
$$ [mm] \int_{\tau = - T + t}^{t} A_1 \cdot A_2 \, [/mm] d [mm] \tau [/mm] = [mm] A_1 A_2 T_1 [/mm] $$
Spiegelt man das zweite Signal, so bekommt man das von mir angegebene Integral, das Ergebnis ist jedoch das Gleiche.
$$ [mm] \int_{\tau=0}^{T_1} A_1 \cdot A_2 \, [/mm] d [mm] \tau [/mm] = [mm] A_1 A_2 T_1 [/mm] $$
Mit meinen Hinweisen auf diese vereinfachte Formel wollte ich nur ausdrücken, dass diese Rechteckformel nur dann gilt,wenn sich beide Signale voll überlappen.
Die Integralgrenzen für Deine Art der Spiegelung sind damit okay. Sorry für die Verwirrung, aber es ist doch auch recht beruhigend herauszufinden, dass beide Wege zum gleichen Ergebnis führen.
Viele Grüße,
Infinit
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Ah, danke!
Jetzt muss ich "nur" noch dahinterkommen, was in den beiden anderen Fällen unterm Integral steht.
Wenn ich die Rechteckfunktionen mit Sprungfunktionen [mm] \Gamma [/mm] ausdrücke, sieht das ja für den ersten Fall [mm] (0\le t
[mm] g(t)=\integral_{0}^{t}{A_2*( \Gamma(\tau)-\Gamma(\tau-T_2))*A_1*(\Gamma(t-\tau)-\Gamma(\tau-T_1)) d\tau}
[/mm]
[mm] \tau [/mm] nimmt dabei Werte zwischen 0 und [mm] T_1 [/mm] an, wodurch
[mm] \Gamma(\tau)=1,
[/mm]
[mm] \Gamma(\tau-T_2)=0,
[/mm]
[mm] \Gamma(t-\tau)=1 [/mm] und
[mm] \Gamma(\tau-T_1)=0 [/mm] sind
[mm] g(t)=\integral_{0}^{t}{A_2*( 1-0)*A_1*1-0) d\tau}=A_1*A_2*\integral_{0}^{t}{1*1d\tau}
[/mm]
In dem Bereich ist dann also [mm] g(t)=A_1*A_2*t, [/mm] also eine ansteigende Gerade.
Ich wage fast nicht zu hoffen, dass das jetzt endlich richtig ist...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:17 Sa 12.09.2009 | | Autor: | chrisno |
Ich hatte ja vorgeschlagen, mit dem zweiten Abschnitt (volle Überlapung) anzufangen. Dies ist der einfachste Fall.
Schau Dir mal an, welchen Bereich [mm] \tau [/mm] und $t - [mm] \tau$ [/mm] durchlaufen. Das muss dann so sein, dass Du gar nicht eine Rechteckfunktion hinschreibst, sondern direkt siehst, dass es um die Teile geht, an denen die Rechteckfunktion auf 1 steht. Dann wird das Integral sehr einfach.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Sa 12.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du dir wirklich mal gruendlich den thread angesehen, den Infinit dir empfohlen hat? Nach deinen Fragen sieht es nicht so aus.
Mach dir ein paar Zeichnungen, wo du das gespiegelte Signal langsam von links nach rechts auf das andere schiebst, dann mach ne qualitative Zeichnung von g(t) , erst dann wirklich rechnen!
Gruss leduart
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Das Problem bei der Geschichte ist ja nicht, dass ich mir nicht vorstellen kann, was da passiert. Rein grafisch kann ich die Signale problemlos falten. Ich erhalte ein gleichschenkliges Trapez, dass oben [mm] T_2-T_1 [/mm] breit ist und unten [mm] T_2+T_1 [/mm] mit einer Höhe von [mm] A_1*A_2*T_1.
[/mm]
Im Überlappungsfall weiß ich auch, dass das Integral
[mm] A_1*A_2*\integral_{t-T_1}^{t}{ d\tau} [/mm] lauten muss. In der Eintritts- bzw. Austrittsphase hat das Ergebnis die Form [mm] A_1*A_2*t, [/mm] mit [mm] t
Wo genau habe ich denn jetzt was falsch gemacht?
Könnte mir bitte jemand meine Denkfehler mal rot markiren oder so? Ich bin gerade kurz vorm verzweifeln...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 So 13.09.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
Deine Überlegungen scheinen gar nicht so verkehrt zu sein, aber wir haben bisher kein einziges Integral von Dir ausgerechnet gesehen. Wo liegt da die Schwierigkeit?
Für den dritten Bereich gilt natürlich nicht der gleiche Verlauf wie für den ersten, mit wachsendem t muss das Ergebnis wieder kleiner werden und das macht es auch.
Füt t zwischen T1 und T1 + T2 gilt doch (siehe Dein eigenes Integral im ersten Beitrag)
$$ [mm] \int_{\tau = - T_1 + t}^{T_2} A_1 A_2 \, [/mm] d [mm] \tau [/mm] = [mm] A_1 A_2 \cdot (T_2 [/mm] + [mm] T_1 [/mm] - t) $$ und damit ist doch alles in Ordnung.
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo nochmal,
die Schwierigkeit bestand darin, dass ich völlig verunsichert war, was in die Integrale überhaupt reingehört. Im Vorlesungsskript wird bei diesem Thema die Aufteilung in Sprungfunktionen vorgenommen und dann mit einer unglaublich verwirrenden Fallunterscheidung ausgewertet. Das war das, was ich gestern zuletzt probiert hab. Da hab ich nachher meinen eigenen richtigen Ergebnissen nicht mehr getraut 
Danke für eure Geduld!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:25 So 13.09.2009 | | Autor: | Infinit |
Alles klar. Da kann ich nur sagen: Warum umständlich, wenn's auch einfach geht. Als Schreibweise ist dies ja noch okay, hier mit der Sprungfunktin zu arbeiten, aber es hilft Dir nicht dabei, die Integrale zu lösen.
Viele Grüße,
Infinit
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