matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > Winkelfunktion
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Winkelfunktion
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Winkelfunktion

Definition Sinus(-funktion), Kosinus(-funktion), Tangens(-funktion)


Schule


Definition am rechtwinkligen Dreieck

Betrachtet man das unten stehende rechtwinklige Dreieck ABC mit dem rechten Winkel bei C (Bild1),
so gelten folgende Beziehungen:


Bild:RechtwinkligesDreieck.jpg


$ \sin \alpha = \bruch{\mbox{Gegenkathete}}{\mbox{Hypotenuse}} $ ; $ \cos \alpha = \bruch{\mbox{Ankathete}}{\mbox{Hypotenuse}} $ ; $ \tan \alpha = \bruch{\mbox{Gegenkathete}}{\mbox{Ankathete}} = \bruch{\sin \alpha}{\cos \alpha} $


Dabei ist die Strecke $ \overline{AC} $ die Ankathete zum Winkel $ \alpha $
und die Strecke $ \overline{BC} $ die Gegenkathete zum Winkel $ \alpha $.



Definition am Einheitskreis

Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras gilt: $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, weil im Einheitskreis die Hypotenuse c = r = 1 ist.

Man kann diese Definition am rechtwinkligen Dreieck auf Winkel >90° erweitern, wenn man folgendes Bild2 betrachtet:


Bild:Einheitskreis.png

Durchläuft der Punkt C die Kreislinie, so kann man die zum Winkel $ \alpha $ (bei A) gehörenden Werte des Sinus $ \alpha $ und Kosinus $ \alpha $ in ein Koordinatenkreuz übertragen.


Sinusfunktion:


Bild:sinus.jpg


Kosinusfunktion:


Bild:cosinus.jpg

Man erkennt, dass sowohl der Sinus als auch der Kosinus stets Werte $ |y| \le 1 $ ergeben.
In den Zeichnungen sind die Winkel im Bogenmaß aufgetragen;
dabei gelten folgende Entsprechungen mit $ \pi $ = Kreiszahl = 3.1415926...:


$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}\alpha \text{ im Gradmaß}&0°&30°&45°&60°&90°&180°&270°&360°\\\hline \text{b im Bogenmaß} &0& \bruch{\pi}{6}&\bruch{\pi}{4}&\bruch{\pi}{3}&\bruch{\pi}{2}&\pi&\bruch{3\pi}{2}&2\pi\\\hline\hline \sin \alpha &0& \bruch{1}{2}&\bruch{1}{2}\sqrt{2}&\bruch{1}{2}\sqrt{3}&\bruch{1}{2}\sqrt{4}=1&0&-1&0\\\hline \cos \alpha & \bruch{1}{2}\sqrt{4}=1&\bruch{1}{2}\sqrt{3}&\bruch{1}{2}\sqrt{2}&\bruch{1}{2}&0&-1&0&1\end{array} $

Man erkennt weiter, dass sich nach einer Umdrehung (gegen den Uhrzeigersinn) die Werte für den Sinus und den Kosinus wiederholen: beide Funktionen sind periodisch mit der Periodenlänge $ 2\cdot{}\pi $.
Daher kann man die Sinus- und die Kosinusfunktion auch für Werte > 90° sinnvoll definieren.

Natürlich kann man den Punkt C auch mit dem Uhrzeiger auf dem Kreis wandern lassen:
dann bezeichnet man einfach die entstehenden Winkel als negative Größen.
Damit ist also festgestellt, dass der Definitionsbereich beider Funktionen ganz $ \IR $ ist.

weitere Eigenschaften der Winkelfunktionen


Universität


Definition/Darstellung als Potenzreihe

Für $ x\in\IC $ (insbesondere für $ x\in\IR $) ist definiert (Taylorreihe des Sinus):
$ \sin x:=\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k \bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!} $

Für $ x\in\IC $ (insbesondere für $ x\in\IR $) ist definiert (Taylorreihe des Kosinus):
$ \cos x:=\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k \bruch{x^{2k}}{(2k)!} $



Weitere Beziehungen

$ \sin(x)=\bruch{1}{2j}\cdot{}\big(e^{jx}-e^{-jx}\big) $

$ \cos(x)=\bruch{1}{2}\cdot{}\big(e^{jx}+e^{-jx}\big) $


Bild1 Rechtwinkliges Dreieck aus [link]Wikipedia
weitere Überlegungen zur Tangensfunktion

Erstellt: So 05.09.2004 von Marc
Letzte Änderung: Do 28.01.2010 um 22:38 von Herby
Weitere Autoren: Hanno, informix, Loddar, M.Rex
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext
^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]