matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > Wie_man_den_Kern_einer_linearen_Abbildung_bestimmt
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Wie_man_den_Kern_einer_linearen_Abbildung_bestimmt
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Wie man den Kern einer linearen Abbildung bestimmt

Gegeben sei eine lineare Abbildung $ f: V\to W $ mit $ \dim V=n $ und $ \dim W=m $.

Der Kern einer Abbildung ist ja die Menge aller Vektoren aus V, die auf den Nullvektor $ 0\in W $ abgebildet werden:

$ \Kern(f)=\left\{v\in V\ |\ f(v)=0\right\} $

Hat man bereits die beschreibende Matrix A dieser linearer Abbildung vorliegen (dies ist eine $ m\times n $-Matrix $ A=(a_{ij}) $ (bzgl. einer geeigneten Basis), für die gilt: $ f(v)=A\cdot{}v $ für alle $ v\in V $), so reduziert sich die Bestimmung des Kerns auf das Lösen eines linearen Gleichungssystems:

$ \Kern(f)=\Kern(A)=\left\{v\in V\ :\ Av=0\right\} $

Das heißt, die Lösungsmenge dieses (homogenen) linearen Gleichungssystems ist zu bestimmen:

$ Av=0 $
$ \gdw\ A\cdot{}\vektor{v_1\\\vdots\\v_n}=\vektor{0\\\vdots\\0} $

$ \gdw\ \pmat{a_{11}&\ldots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&\ldots&a_{mn}}\cdot{}\vektor{v_1\\\vdots\\v_n}=\vektor{0\\\vdots\\0} $

$ \gdw\ \begin{array}{|ccccc} a_{11}\cdot{}v_1&+\ldots+&a_{1n}\cdot{}v_n&=&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}\cdot{}v_1&+\ldots+&a_{mn}\cdot{}v_n&=&0\end{array} $


Beispiele


1. Beispiel die Telefonmatrix von $ \IR^3 $ nach $ \IR^3 $:

$ \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9} $

Sie hat den Rang 2 daraus bzw. aus der Dimensionsformel, lässt sich schliessen, dass es auch einen Kern gibt.

Erstellt man ein Gleichungssystem mit obigen Schema kommt man auf:

$ v_1+2v_2+3v_3=0 $
$ 4v_1+5v_2+6v_3=0 $
$ 7v_1+8v_2+9v_3=0 $

komplett aufgelöst sieht es so aus:

$ v_1+2v_2+3v_3=0 $
$ -3v_2-6v_3=0 $
$ 0=0 $

Es gibt einen Freiheitsgrad, da wir 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten haben.
In diesem Fall setzen wir $ v_3:=1 $.
Daraus folgt:

$ v_2=-2 $

weiterhin folgt:

$ v_1= -2v_2 -3v_3 = -2 \cdot (-2) - 3 \cdot 1 = 1 $.

Also ist der Kern:

$ Kern(T) = \left\langle \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\right \rangle $



2. Beispiel:

$ F: \IR^3 \to \IR^2 $ (von $ \IR^3 $ nach $ \IR^2 $)

$ \vec{v} = \vektor{x \\ y \\ z} \mapsto \vektor{x + z \\ 2x + 4y + 2z} $


Die dazu aufgestellte Matrix lautet:

$ M = \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 2} $


Nun können wir 2 Gleichungen aufstellen (da nach $ \IR^2 $ abbilden).

$ M\cdot{}\vec{v} = \vec{0} $

I. $ x + z = 0 $
II. $ 2x + 4y + 2z $


Nun wird umgeformt:

I. $ x + z = 0 $

$ \Rightarrow \red{z = -x} $

$ \Rightarrow \green{x = -z} $




Jetzt wird II. umgeformt und I. $ \red{z = -x} $ eingesetzt:

$ 2x + 4y + 2z = 0 $

$ \Rightarrow 2x + 4y + 2\cdot{}(\red{-x}) = 0 $

$ \Rightarrow 2x + 4y \red{ - 2x} = 0 $

$ \Rightarrow 4y = 0 $

$ \Rightarrow y = 0 $




Jetzt wird II. umgeformt:

$ 2x + 4y + 2z = 0 $

$ \Rightarrow 2x + 4\cdot{}0 + 2z = 0 $

$ \Rightarrow 2x + 2z = 0 $

$ \Rightarrow 2z = - 2x $

$ \Rightarrow z = - x $




Jetzt wird I. $ \red{z = -x} $ und II. $ \Rightarrow z = - x $ gleichgesetzt:

$ -x = -x $

$ x = x $


Der Kern lautet also:

$ Ker(F) = \vektor{x \\ 0 \\ -x} $

Erstellt: Di 24.08.2004 von Marc
Letzte Änderung: Sa 17.03.2007 um 22:06 von Disap
Weitere Autoren: DaMenge, KnockDown, Shaguar
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext
^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]