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Substitutionsregel
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Substitutionsregel

Satz Substitutionsregel der Integralrechnung

$ f:\ [d,c]\to\IR $ integrierbar, $ \varphi:\ [a,b]\to\IR $ stetig differenzierbar, $ [\varphi(a),\varphi(b)]\subset[d,c] $

Dann gilt:
$ \int\limits_a^b f(\varphi(x))\cdot{}\varphi'(x)\; \mbox{d}x=\int\limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(z)\;\mbox{d}z $



Bemerkungen.

Die Integration durch Substitution beruht auf der Umkehrung der Kettenregel.


Beispiel 1


$ \integral {\bruch{e^{\wurzel{x}}}{\wurzel{x}} dx} $


Substitution: $ t = \wurzel{x} \Rightarrow x = t^2 \Rightarrow \bruch{dx}{dt}= 2t $
Einsetzen: $ \integral{\bruch{e^t}{t}\cdot{}2t dt} = \integral {2\cdot{}e^t dt} = 2\cdot{}e^t + C $
Rückeinsetzen: $ = 2 e^{\wurzel{x}} + C $

Beispiel 2


$ \integral {\bruch{x^2}{\wurzel{x^3+2}} dx} $


Substitution: $ t = x^3+2 \Rightarrow \bruch{dt}{dx} = 3 x^2 \Rightarrow dx = \bruch{1}{3x^2} dt $
Einsetzen: $ \integral {\bruch{x^2 \cdot{} 1}{\wurzel {t}\cdot{} 3x^2} dt} = \bruch{1}{3} \integral {\bruch{1}{\wurzel {t}}dt} = \bruch{1}{3}\cdot{} 2 \cdot{} \wurzel{t} + C $
Rückeinsetzen: $ = \bruch{2}{3} \wurzel{x^3 + 2} + C $


Erstellt: Di 31.08.2004 von Marc
Letzte Änderung: Di 19.07.2005 um 16:32 von Loddar
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