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Logarithmus
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Logarithmus

Definition

Für positive Zahlen b,x (also $ b,x\in\mathbb{R}^+ $) ist der 'Logarithmus' definiert als:

$ \log_b x=y\ :\Leftrightarrow\ b^y=x $ ("Bestimmungsgleichung des Logarithmus")

Es ist also $ \log_b x $ diejenige Zahl, mit der man die Basis b potenzieren muß um x zu erhalten.

Für bestimmte Basen b gibt es spezielle Schreibweisen:


  1. Zur Basis b=10: $ \log_{10} x=\operatorname{lg} x $
  2. Zur Basis b=e: $ \log_e x=\operatorname{ln} x $ ("logarithmus naturalis") (e ist die Eulersche Zahl)
  3. Zur Basis b=2: $ \log_2 x=\operatorname{ld} x $ ("logarithmus dualis")

Beispiel:
$ \log_2 4=y\ \Leftrightarrow\ 2^y = 4\ \Leftrightarrow\ y=2 $


Logarithmusgesetze

Diese Gesetze folgen direkt aus der Definition des Logarithmus:


  1. $ \log_b (x\cdot y)=\log_b x + \log_b y $
  2. $ \log_b \frac{x}{y}=\log_b x - \log_b y $
  3. $ \log_b x^y=y\cdot \log_b x $
  4. $ \log_b 1=0 $
  5. $ \log_b b=1 $
  6. $ b^{\log_b x}=x $
  7. $ \log_b b^x=x $

Beispiele für die Anwendung der Rechengesetze

Zeigen Sie, dass für a, b > 0 gilt: $ \log_a b\cdot{}\log_b a = \lg 10 $
Nach der Definition des Logarithmus gilt:

$ a^{\log_a b} = b \gdw \log_a b \cdot{} \lg a = \lg b $


$ \gdw \log_a b = \bruch{\lg b}{\lg a} $ und analog $ \log_b a = \bruch{\lg a}{\lg b} $


Damit gilt dann: $ \log_a b\cdot{}\log_b a =\bruch{\lg b}{\lg a}\cdot{}\bruch{\lg a}{\lg b} = 1 = \lg 10 $


Beweise der Logarithmusgesetze

Erstellt: Fr 07.01.2005 von informix
Letzte Änderung: Sa 07.05.2005 um 17:56 von informix
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