Raum für Mathematik Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
	Hallo Gast! [ einloggen \| registrieren ]
	Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum

Forenbaum

UKomplx

UAnaSon

ULinAGS

Algebra

Logik

Numerik

DGL

Wahrscheinlichkeitstheorie

Topologie+Geometrie

Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation

Startseite...
Neuerdings beta neu
Forum...
vorwissen
	Einstieg

	Index aller Artikel

	Hilfe / Dokumentation
	Richtlinien
	Textgestaltung
vorkurse...
Werkzeuge...
Nachhilfevermittlung beta...
Online-Spiele beta
Suchen
Verein...
Impressum

Das Projekt

Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.

Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.

Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.

Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".

Partnerseiten

Weitere Fächer:

Vorhilfe.de

FunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme

Startseite > Lagrange

Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik

Lagrange

Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!

Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Lagrange

Satz von Lagrange

Sei G eine endliche Gruppe und $U\le G$ . Dann gilt:

$|G|=|T|\cdot|U|$

mit T Links- oder Rechtstransversale von U in G. Insbesondere haben alle Transversalen von U in G gleiche Mächtigkeit.
Diese Anzahl heißt Index von U in G, schreibe |G:U|. Also gilt:

$|G|=|G:U|\cdot|U|$ .

Beweis

T Linkstransversale von U in G $\Rightarrow$ $G=\bigcup_{t\in T}^{\cdot}tU$ und $|G|=\sum_{t\in T}|tU|$ .

Wegen |tU|=|U| folgt:

$|G|=|T|\cdot|U|$ ,

denn $|G|=\sum_{t\in T}|tU|=\sum_{t\in T}|U|=|T|\cdot|U|$ . $\square$

Korollar (Kleiner Satz von Fermat)

Sei $a\in \IZ$ nicht durch eine Primzahl p teilbar. Dann gilt: $p|(a^{p-1}-1)$ .

(Beweis: Die Gruppe der invertierbaren Elemente in $(\IZ/p\IZ,\cdot)$ hat Ordnung p-1.)

Verallgemeinerung des Satzes

Sind U und V Untergruppen der endlichen Gruppe G mit $U \subseteq V$ , dann gilt

$[G : U] = [G : V ] \cdot [V : U]$ .

Beweis

Wende den Satz von Lagrange mehrfach an und kürze |U| heraus:

$|G| = [G:U] \cdot |U| = [G:V] \cdot |V| = [G:V ] \cdot [V:U]\cdot|U|$ . $\square$

Anwendung

Sei $S_3:=\{id, d,d^2,\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\}$ die symmetrische Gruppe, wobei

$id:=\pmat{1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3}=\pmat{1}$ , $d:=\pmat{1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1}=\pmat{1 & 2 & 3}$ , $d^2:=\pmat{1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2}=\pmat{1 & 3 & 1}$ ,

$\sigma_1:=\pmat{1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2}=\pmat{2 & 3}$ , $\sigma_2:=\pmat{1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1}=\pmat{1 & 3}$ , $\sigma_3:=\pmat{1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3}=\pmat{1 & 2}$ .

Es ist ord(id)=1, und $ord(\sigma_1)=ord(\sigma_2)=ord(\sigma_3)=2$ .

Wir bestimmen nun alle Untergruppen von .

Wegen hat höchstens Untergruppen der Ordnung 1,2,3 und 6. Die trivialen Untergruppen $\{id\}$ bzw. haben Ordnung 1 bzw. 6 und sind einzige Untergruppen dieser Ordnungen.
Elemente der Ordung 2 erzeugen folgende zweielementige Untergruppen, die die einzigen Untergruppen mit Ordung 2 sind:

$U_1=\langle\sigma_1\rangle=\{id,\sigma_1\}$ , $U_2=\langle\sigma_2\rangle=\{id,\sigma_2\}$ und $U_3=\langle\sigma_3\rangle=\{id,\sigma_3\}$

Wegen $d^{-1}=d^2$ ist $V=\langle d\rangle=\langle d^2\rangle=\{id, d,d^2\}$ . Zudem ist V einzige Untergruppe mit Ordnung 3. Denn jede andere Untergruppe mit drei Elementen enthält ein $\sigma_1$ , $\sigma_2$ oder $\sigma_3$ und ist deshalb Untergruppe der Ordung 2. Nach Lagrange hat sie dann nicht Ordnung 3.

Literatur

isbn9783827430113 C. Karpfinger, K. Meyberg: Algebra, Springer Spektrum, 2013

Erstellt: Mi 25.02.2015 von Ladon

Letzte Änderung: Sa 28.03.2015 um 15:18 von Ladon

Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext