matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > LHospitalscheRegel
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
LHospitalscheRegel
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

LHospitalscheRegel

Satz L'Hospitalsche Regeln

1. Regel (Typ "$ \bruch{0}{0} $")
Die Funktionen $ f, g $ seien stetig auf $ [a,b] $ und differenzierbar auf $ ]a,b[ $.
Es sei $ g'(x)\ne0 $ für alle $ x\in]a,b[ $,

Gilt nun $ f(c)=0 $ und $ g(c)=0 $ mit $ c\in]a,b[ $ und existiert $ \limes_{x\to c}\bruch{f'(x)}{g'(x)} $ (einseitig bzw. beidseitig), dann ist
$ \limes_{x\to c}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\to c}\bruch{f'(x)}{g'(x)} $.

Diese Regel gilt übrigens auch für $ c=\pm\infty $ (und entsprechender Vergrößerung des Intervals $ ]a,b[ $ zu $ ]-\infty,b[ $ bzw. $ ]-\infty,\infty[ $ bzw. $ ]-\infty,\infty[=\IR $)

2. Regel (Typ "$ \bruch{\infty}{\infty} $")
Die Funktionen $ f, g $ seien differenzierbar auf $ ]a,b[ $.
Es sei $ f(x),g(x),g'(x)\ne0 $ für alle $ x\in]a,b[ $.

Gilt nun $ \limes_{x\to c}f(x)=\limes_{x\to c}g(x)=\pm\infty $ mit $ c\in]a,b[ $ und existiert $ \limes_{x\to c}\bruch{f'(x)}{g'(x)} $ (einseitig bzw. beidseitig), dann ist
$ \limes_{x\to c}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\to c}\bruch{f'(x)}{g'(x)} $.

Diese Regel gilt übrigens auch für $ c=\pm\infty $ (und entsprechender Vergrößerung des Intervals $ ]a,b[ $ zu $ ]-\infty,b[ $ bzw. $ ]-\infty,\infty[ $ bzw. $ ]-\infty,\infty[=\IR $)

Zusammenfassung
1.
a) $ f(c)=g(c)=0\;\;\Rightarrow\;\;\limes_{x\to c}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\to c}\bruch{f'(x)}{g'(x)} $ (Regel 1)
b) $ \limes_{c\to\pm\infty}f(c)=\limes_{c\to\pm\infty}g(c)=0\;\;\Rightarrow\;\;\limes_{x\to\pm\infty}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\to\pm\infty}\bruch{f'(x)}{g'(x)} $ (Regel 1)
2.
a)$ \limes_{x\to c}f(c)=\limes_{x\to c}g(c)=\pm\infty\;\;\Rightarrow\;\;\limes_{x\to c}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\to c}\bruch{f'(x)}{g'(x)} $ (Regel 2)
b)$ \limes_{c\to\pm\infty}f(c)=\limes_{c\to\pm\infty}g(c)=\pm\infty\;\;\Rightarrow\;\;\limes_{x\to\pm\infty}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\to\pm\infty}\bruch{f'(x)}{g'(x)} $ (Regel 2)


Bemerkungen.

Die Regel beruht darauf, dass sich Funktionen „in der Nähe" einer Stelle $ x_0 $ durch ihre Tangenten annähern lassen.

Ist (im „Standardfall") $ \lim_{x \to x_0}f(x) = \lim_{x \to x_0}g(x) = 0 $, so lauten die Tangentengleichungen $ y=f'(x_0)\,\cdot(x-x_0) $ und $ y=g'(x_0)\,\cdot(x-x_0) $. Ihr Quotient $ \frac{f'(x_0)\,\cdot(x-x_0)}{g'(x_0)\,\cdot(x-x_0)}\,=\,\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)} $ ist also eine Näherung für $ \frac{f(x_0)}{g(x_0)} $.


Beispiele.


1.

Es sei $ f\, $ stetig differenzierbar in einer Umgebung von $ x_0\,. $ Dann liefert die Anwendung von der Regel von de l'Hôpital bei $ \lim_{x \to 0}\frac{f(x_0+x)-f(x_0)}{x} $ nichts anderes als $ f'(x_0): $

   $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x_0+x)-f(x_0)}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{f'(x_0+x)\cdot{}1}{1}=\lim_{x \to 0} f'(x_0+x)=f'(x_0), $

wobei die letzte Gleichheit wegen der Stetigkeit(!) von $ f\,' $(!!) in $ x_0 $ gilt.

Dieses Beispiel wirkt zwar trivial, aber es wird deswegen aufgeführt, weil die Regel von de l'Hôpital oft auch angewendet wird, obwohl man auch ohne sie auskäme. (Der Sinn dieses Beispiels liegt also tatsächlich darin, sich klarzumachen, ob ein gesuchter Grenzwert sich vielleicht nicht auf anderem Wege - hier: mithilfe der Definition der Ableitung an einer Stelle - direkt ergibt).

Wir führen ein Standardbeispiel auf, wo man sogar ohne de l'Hôpital den gesuchten Grenzwert direkt per Definitionem der Ableitung berechnen kann. In der Literatur gängig aufgeführt wird die Berechnung von

   $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1\,, $

welche mit de l'Hôpital und der Stetigkeit von $ \cos $ in $ 0\, $ aus

   $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1}=\cos(0)=1 $

folgt. Dabei kann man dies mit $ x_0:=0 $ direkt aus

   $ \lim_{x \to 0}\frac{\sin(x_0+x)-\sin(x_0)}{x}=\sin'(x_0)=\cos(x_0) $

erkennen - wegen $ \sin(0)=0 $ ist nämlich

   $ 1=\cos(0)=\sin'(0)=\lim_{x \to 0}\frac{\sin(0+x)-\sin(0)}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}. $


Bemerkung:

Man beachte, dass die Differenzierbarkeit von $ f\, $ in $ x_0 $ auch die Stetigkeit von $ f\, $ in $ x_0 $ zur Folge hat, so dass $ f(x_0+x)-f(x_0) \to 0 $ bei $ x \to 0 $ gilt.

2.

Wenn man *nur* weiß, dass $ f\, $ stetig in $ x_0 $ ist, dass $ f\, $ differenzierbar in einer Umgebung von $ x_0 $ ohne $ x_0 $ ist und zudem sei die Differenzierbarkeitsfrage in $ x_0 $ selbst nicht geklärt, so gilt:
Falls

   $ g:=\lim_{x \to 0} f'(x_0+x) $

existiert, so existiert auch $ f'(x_0). $ Denn: Sei $ 0 < |x| < \delta $ mit einem hinreichend kleinen $ \delta > 0, $ so folgt wie oben

   $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x_0+x)-f(x_0)}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{f'(x_0+x)\cdot{}1-0}{1}=\lim_{x \to 0} f'(x_0+x)=g. $

Wegen

   $ f'(x_0)=\lim_{x \to 0} \frac{f(x_0+x)-f(x_0)}{x} $ (wenn der Grenzwert rechterhand existent ist)

folgt dann

   $ f'(x_0)=g. $


Bemerkung:

Insbesondere ist dann also auch $ f\, $ stetig differenzierbar in $ x_0. $

Beweis.

siehe: [link]WikiBooks

Erstellt: Sa 04.09.2004 von Marc
Letzte Änderung: Do 07.08.2014 um 16:02 von Marcel
Weitere Autoren: informix
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext
^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]