GruppenhomomorphismusDefinition Begriff
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Die Definition bettet sich in die allgemeine Definition eines Homomorphismus einer algebraischen Struktur ein:
Es seien  ,  Gruppen. Eine Abbildung  heißt ein (Gruppen-)Homomorphismus, wenn für alle  gilt:
 .
Die Homomorphismen zwischen zwei Gruppen sind also genau die Abbildungen, welche die Gruppenstruktur "respektieren".
Beispiele
a) Die Exponentialabbildung auf  ,  , ist wegen  ein Homomorphismus von  in  .
b) Seien  Gruppen und  das neutrale Element von  . Die Abbildung  , definiert durch  für alle  , ist ein Homomorphismus.
c) Es sei  die additive Gruppe der Restklassen modulo  . Dann ist  , definiert durch  ,  , auf Grund der Definition der Addition in  ein Homomorphismus.
Homomorphismen mit weiteren Eigenschaften erhalten besondere Namen:
Es seien Gruppen und ein Homomorphismus.
a)  heißt ein Monomorphismus (bzw. Epimorphismus), wenn injektiv (bzw. surjektiv) ist.
b) heißt ein Isomorphimus, wenn bijektiv ist.
c) Ein Homomorphismus von  in sich heißt ein Endomorphismus und ein Isomorphismus von auf sich heißt Automorphismus.
d) und heißen isomorph, in Zeichen  , wenn es einen Isomorphismus von auf gibt.
Man weißt leicht nach, dass für einen Gruppemhomomorphismus  gilt:
![$ \varphi(a^n) = [\varphi(a)]^n $](/teximg/2/4/00387842.png "$ \varphi(a^n) = [\varphi(a)]^n $") für alle  ,  .
Insbesondere gilt:
![$ \varphi(a^{-1}) = [\varphi(a)]^{-1} $](/teximg/3/4/00387843.png "$ \varphi(a^{-1}) = [\varphi(a)]^{-1} $") für alle
und  ist das neutrale Element von , wenn das neutrale Element von ist.
Man definiert weiterhin:
und
 ,
wenn  das neutrale Element von ist.
Während  als "Maß für die Surjektivität" von angesehen werden kann, "misst"  die Injektivität. Insbesondere gilt:
Ein Gruppenhomomorphismus  ist genau dann injektiv, wenn nur aus dem neutralen Element von besteht.
Siehe auch: Automorphismengruppe
Quelle: isbn3446130799
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