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Formeln Figuren und Körper

Formeln für Figuren und Körper


Figuren

Figuren sind zweidimensionale Gebilde; sie haben einen Flächeninhalt A und einen Umfang U.


Dreieck


allgemeines Dreieck

In jedem Dreieck gilt der Sinussatz, Kosinussatz.

Flächeninhalt: ("Hälfte von Grundseite mal Höhe")

$ A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h_g $

Umfang: (Summe aller Seitenlängen)
$ U=a+b+c $

Winkel:
$ \alpha+\beta+\gamma=180^\circ $

(Innenwinkelsummensatz: "Die Summe aller Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180°.")


gleichschenkliges Dreieck

Ein Dreieck, das zwei gleich lange Seiten hat, heißt gleichschenklig.

Äquivalente Definition: Ein Dreieck, das zwei gleich große Winkel besitzt, heißt gleichschenklig.

Die gleich langen Seiten werden Schenkel genannt, die dritte Seite Basis oder Grundseite.

Es sei a die Länge der beiden Schenkel und b die Länge der Basis.

Höhe:

$ h_b=\sqrt{a^2-\left(\bruch{b}{2}\right)^2} $

Flächeninhalt:
$ A = \bruch{1}{2} \cdot{} b \cdot h_b = \bruch{1}{2} \cdot{} b \cdot{}\sqrt{a^2-\left(\bruch{b}{2}\right)^2} $

Umfang:
$ U=2a+b $

Winkel:
$ \alpha = \beta \ , \ \gamma \text{ beliebig < 180°} $



gleichseitiges Dreieck

Ein Dreieck, dessen drei Seiten gleich lang sind, heißt gleichseitig.

Es sei a die Länge einer (und damit jeder) Seite.

Höhe: (Satz des Pythagoras)

$ h_a=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot a $
 
Flächeninhalt:
$ A = \frac{1}{2}\cdot a\cdot h_a = \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2 $

Umfang:
$ U=3a $

Winkel:
$ \alpha=\beta=\gamma=60^\circ $


rechtwinkliges Dreieck

Ein Dreieck, das einen rechten Winkel (90°) besitzt, heißt rechtwinklig.

In rechtwinkligen Dreiecken gilt der Satz des Pythagoras, Höhensatz, Kathetensatz, die Umkehrung des Satz des Thales



Viereck

Winkel: $ \alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ $
(Innenwinkelsummensatz: "Die Summe aller Innenwinkel eines Vierecks beträgt 360°.")


unregelmäßiges Viereck


Drachen


Trapez

Ein Viereck mit einem Paar von parallelen Gegenseiten nennt man Trapez.

Es seien $ a $ und $ c $ die beiden parallelen Seiten.
Flächeninhalt:

$ A \ = \ \bruch{a+c}{2}\cdot{}h $

Dabei ist $ h $ der Abstand der Abstand zwischen den beiden parallelen Seiten $ a $ und $ c $.



Parallelogramm

Ein Viereck mit zwei Paaren von parallelen Gegenseiten nennt man Parallelogramm.

Es seien $ a $ eine (Grund)Seite des Parallelogramms und $ h $ seine Höhe, also der Abstand der Seite $ a $ von ihrer Gegenseite.
Flächeninhalt:

$ A \ = \ a\cdot{}h $


Raute / Rhombus


Ein Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten nennt man Raute oder auch Rhombus.


Rechteck

Ein Parallelogramm, dessen benachbarte Seiten rechtwinklig zueinander sind, nennt man Rechteck.
Flächeninhalt:

$ A \ = \ a \cdot{} b $

Umfang:
$ U \ =\ 2a + 2b \ = \ 2\cdot{}(a+b) $

Diagonale:
$ d \ = \ \wurzel{a^2 + b^2} $

Winkel:
$ \alpha \ = \ \beta \ = \ \gamma \ = \ \delta = 90° $



Quadrat

Ein Rechteck, dessen Seiten gleich lang sind, nennt man Quadrat.
Ein Quadrat ist auch eine Raute mit vier rechten Winkeln.

Es sei $ a $ die Länge einer (und damit jeder) Seite.
Flächeninhalt:

$ A \ = \ a^2 $

Umfang:
$ U \ = \ 4a $

Diagonale:
$ d \ = \ \wurzel{2} \cdot{} a $

Winkel:
$ \alpha \ = \ \beta \ = \ \gamma \ = \ \delta \ = \ 90° $




n-Eck


regelmäßiges n-Eck

unregelmäßiges n-Eck


Kreis

$ A \ = \ \pi \cdot{} r^2 \ = \ \bruch{\pi \cdot{} d^2}{4} $

$ U \ = \ 2 \cdot{} \pi \cdot{} r \ = \ \pi \cdot{} d $




Ellipse





Körper



Prisma

$ V=G\cdot{}h $
$ O=2G+M $


Würfel

$ V=a^3 $
$ O=6\cdot{}a^2 $


Quader

$ V=a\cdot{}b\cdot{}c $
$ O=2\cdot{}(ab+bc+ac) $
$ d=\wurzel{a^2+b^2+c^2} $ (Raumdiagonale)



Zylinder

$ V=G\cdot{}h $

Für senkrechte Zylinder mit einem Kreis als Grundfläche ("Kreiszylinder") gilt weiterhin:

$ G=\pi\cdot{}r^2 $
$ V=\pi\cdot{}r^2\cdot{}h $
$ M=2\pi\cdot{}r\cdot{}h $
$ O=2G+M=2\pi\cdot{}r\cdot{}(r+h) $



Pyramide

$ V=\bruch{1}{3}\cdot{}G\cdot{}h $
$ O=M+G $


Kegel

$ V=\bruch{1}{3}\cdot{}G\cdot{}h $

Für senkrechte Kegel mit einem Kreis als Grundfläche ("Kreiskegel") gilt weiterhin:

$ M=\pi\cdot{}r\cdot{}s $
$ O=\pi\cdot{}r\cdot{}(r+s) $


Kugel

$ V=\bruch{4}{3}\pi r^3 $
$ O=4\pi r^2 $

Erstellt: Di 24.08.2004 von Marc
Letzte Änderung: Fr 03.11.2006 um 19:29 von Marc
Weitere Autoren: informix, Loddar, Marie-Therese
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