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Benutzer:tobit09/Stochastik4

Stochastisches Modellieren für Einsteiger

$ \leftarrow $ 3. Zähldichten p und Wahrscheinlichkeits-Verteilungen P $ \uparrow $ Inhaltsverzeichnis

4. Zufallsvariablen $ X $


a) Zufallsvariablen $ X $


Unter einer Zufallsvariable zu einem stochastischen Vorgang in der realen Welt wollen wir etwas verstehen, was je nach Ausgang des stochastischen Vorganges einen Wert annimmt. Beispiele wären "Augensumme" oder "Augenzahl des ersten Würfels" beim zweifachen Würfelwurf.

Um von der zugehörigen mathematischen Zufallsvariable $ X $ sprechen zu können, benötigen wir zunächst eine Ergebnismenge $ \Omega $, die den stochastischen Vorgang beschreibt. Dann verstehen wir unter der mathematischen Zufallsvariable $ X $ die Zuordnung (Abbildung), die jedem Ergebnis $ \omega\in\Omega $ den Wert zuordnet, den die Zufallsvariable aus der realen Welt bei Eintreten von Ausgang $ \omega $ annimmt.


Beispiel: Zufallsvariablen "Augensumme" und "Augenzahl des ersten Würfels" beim zweifachen Würfelwurf

$ \Omega:=\{1,2,3,4,5,6\}^2 $

Bei Eintreten eines Ergebnisses $ (\omega_1,\omega_2)\in\Omega $ nimmt die Zufallsvariable "Augensumme" den Wert $ \omega_1+\omega_2 $ und die Zufallsvariable "Augenzahl des ersten Würfels" den Wert $ \omega_1 $ an. Die angenommenen Werte sind jeweils natürliche Zahlen.

Die zugehörigen mathematischen Zufallsvariablen lauten also

    $ S\colon\Omega\to\IN,\quad S((\omega_1,\omega_2)):=\omega_1+\omega_2 $

bzw.

    $ X\colon\Omega\to\{1,2,3,4,5,6\},\quad X((\omega_1,\omega_2)):=\omega_1 $.


Aufgabe 10: Beim Glücksrad mit den Feldern Niete, Trostpreis und Hauptpreis habe der Trostpreis einen Wert von 1 Euro und der Hauptpreis einen Wert von 10 Euro. Die Niete ist natürlich 0 Euro wert. Geben Sie die Zufallsvariable "Wert des Gewinns in Euro" als Abbildung an.

Lösungsvorschlag



b) Beschreibung von Ereignissen mit Zufallsvariablen


Beispiel: Ereignis "Augensumme=4" beim zweifachen Würfelwurf

$ \Omega:=\{1,2,3,4,5,6\}^2 $

Sei $ S $ wie oben die Abbildung, die die Zufallsvariable "Augensumme" beschreibt. Dann tritt das Ereignis "Augensumme=4" bei Ausgang $ \omega\in\Omega $ genau dann ein, wenn $ S(\omega)=4 $ gilt. Damit lässt sich das Ereignis "Augensumme=4" schreiben als

   $ E:=\{\omega\in\Omega\;|\;S(\omega)=4\} $.

(Es gilt $ E=\{(1,3),(2,2),(3,1)\} $.)

Wir schreiben als abkürzende Notation $ \{S=4\} $ für dieses Ereignis.


Genauso können wir für beliebige Zufallsvariablen $ X $ (die Zahlen als Werte annehmen) Ereignisse wie

    $ E_1:=\{X=4\} $
    $ E_2:=\{X\le7\} $
    $ E_3:=\{X\in\{2,4,6\}\} $

erklären. Sie stehen dafür, dass $ X $ den Wert 4 bzw. einen Wert $ \le 7 $ bzw. einen Wert $ \in\{2,4,6\} $ annimmt. Mathematisch handelt es sich dabei um die Mengen

    $ E_1=\{\omega\in\Omega\;|\;X(\omega)=4\} $
    $ E_2=\{\omega\in\Omega;\;X(\omega)\le7\} $
    $ E_3=\{\omega\in\Omega;\;X(\omega)\in\{2,4,6\}\} $.


Aufgabe 11: Beschreiben Sie die folgenden Ereignisse mithilfe von Zufallsvariablen. Geben Sie dazu jeweils sowohl die abkürzende Notation als auch deren Bedeutung an.
(i) "Zuerst eine 6 gewürfelt" beim zweifachen Würfelwurf
(ii) "keine Niete" beim Glücksrad aus Aufgabe 10 (mithilfe der Zufallsvariable "Wert des Gewinns in Euro" aus Aufgabe 10)

Lösungsvorschlag

Erstellt: Do 29.11.2012 von tobit09
Letzte Änderung: Do 29.11.2012 um 17:22 von tobit09
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