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Benutzer:tobit09/Beweis-Tutorial A20

Beweis-Tutorial

$ \uparrow $ 4. "für alle"-Aussagen

Lösungsvorschlag Aufgabe 20


Aufgabe:

Sei $ f\colon\IR\to\IR $ eine Funktion, die sowohl gerade als auch ungerade ist. Zeige $ f(x)=0\ $ für alle reellen Zahlen $ x\ $. (Tipp: Gemäß Aufgabe 16 gilt: Für alle reellen Zahlen $ a\ $ mit $ a=-a\ $ gilt $ a=0\ $.)


Überlegungen zur Lösung:

Gegeben:
Funktion $ f\colon\IR\to\IR $
$ f\ $ gerade, d.h. $ f(-x)=f(x)\ $ für alle reellen Zahlen $ x\ $.
$ f\ $ ungerade, d.h. $ f(-x)=-f(x)\ $ für alle reellen Zahlen $ x\ $.
$ a=0\ $ gilt für alle reellen Zahlen $ a\ $ mit $ a=-a\ $ (gemäß Aufgabe 16).
Zu zeigen:
$ f(x)=0\ $ für alle reellen Zahlen $ x\ $.

Wir betrachten also eine beliebig vorgegebene reelle Zahl $ \widetilde{x} $ und wollen $ f(\widetilde{x})=0 $ zeigen.

Um $ f(-x)=f(x)\ $ für alle reellen Zahlen $ x\ $ und $ f(-x)=-f(x)\ $ für alle reellen Zahlen $ x\ $ gewinnbringend nutzen zu können, werden wir diese beiden Aussagen auf die reelle Zahl $ \widetilde{x} $ anwenden.

Um den Tipp $ a=0\ $ für alle reellen Zahlen $ a\ $ mit $ a=-a\ $ gewinnbringend nutzen zu können, brauchen wir eine reelle Zahl $ \widetilde{a} $, von der wir $ \widetilde{a}=-\widetilde{a} $ wissen. Da wir $ f(\widetilde{x})=0 $ zeigen wollen, wäre ideal, wenn wir $ \widetilde{a}:=f(\widetilde{x}) $ wählen könnten, also wenn es uns gelänge, $ f(\widetilde{x})=-f(\widetilde{x}) $ zu zeigen.

Alles Weitere könnt ihr dem unten stehenden Lösungsvorschlag entnehmen.


Lösungsvorschlag:

Sei $ \widetilde{x} $ eine reelle Zahl. Zu zeigen ist $ f(\widetilde{x})=0 $.
Gegeben ist die Bedingung $ f(-x)=f(x)\ $ für alle reellen Zahlen $ x\ $. Da $ \widetilde{x} $ eine reelle Zahl ist, gilt also $ f(-\widetilde{x})=f(\widetilde{x}) $.
Weiterhin ist die Bedingung $ f(-x)=-f(x)\ $ für alle reellen Zahlen $ x\ $ gegeben. Da $ \widetilde{x} $ eine reelle Zahl ist, gilt also $ f(-\widetilde{x})=-f(\widetilde{x}) $.
Zusammengenommen erhalten wir $ f(\widetilde{x})=f(-\widetilde{x})=-f(\widetilde{x}) $. (*)
Nach Aufgabe 16 gilt $ a=0\ $ für alle reellen Zahlen $ a\ $ mit $ a=-a\ $.
$ \widetilde{a}:=f(\widetilde{x}) $ ist gemäß (*) eine reelle Zahl mit $ \widetilde{a}=-\widetilde{a} $.
Also $ \widetilde{a}=0 $.
Somit gilt $ f(\widetilde{x})=\widetilde{a}=0 $, was zu zeigen war.

Erstellt: Fr 27.09.2013 von tobit09
Letzte Änderung: Sa 12.10.2013 um 05:42 von tobit09
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