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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Do 10.01.2008 | | Autor: | Torboe |
| Aufgabe | | http://de.wikipedia.org/wiki/Zyklische_Gruppe |
Eine Gruppe ist also zyklisch, wenn jedes Element durch einen Erzeuger [a] dargestellt werden kann. Sie besteht aus allen Potenzen des Erzeugers [a].
Und man setzt [a] = [mm] {a^{k} | k E \IZ}
[/mm]
In meinem Skript heißt es: [mm] {\IZ, +} [/mm] ist eine zyklische Gruppe mit dem Erzeuger [1].
Warum?
Wie erreiche ich jede Zahl aus [mm] \IZ [/mm] mit [1]? Wegen 1+1+1+1+1... +1 ? Weil [mm] 1^1, 1^2, 1^3,... [/mm] bleibt ja immer 1.
Oder:
[mm] \IZ_{6} [/mm] = {e, g , g2, g3, g4, g5 } = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, erzeugendes Element 1 (I)
Zyklische Untergruppen:
[mm] \IZ_{3} [/mm] = {e , g , g2 } = {0, 2, 4}, erzeugendes Element 2
Warum ist hier 2 das erzeugende Element?
Ich glaub ich nicht richtig verstanden wie man die Formel anwendet :/.
Vielen Dank schonmal im voraus.
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Hallo!
Also, die Definitionen stimmen ja soweit schonmal. Man muss zwischen den Gruppenverknüpfungen + und [mm]\cdot[/mm] unterscheiden!
Im Falle [mm](\IZ,+)[/mm] ist dies zyklisch von der 1 erzeugt, weil sich jedes Element durch wiederholte Addition der 1 erzeugen lässt: [mm]n = \sum_{i=1}^n 1[/mm] für [mm]n > 0[/mm] bzw. [mm]n = \sum_{i=1}^{-n} (-1)[/mm] für [mm]n < 0[/mm]. Letzteres ist dabei die Konvention, [mm]n \cdot x[/mm] für negatives n festzulegen.
Im Falle [mm](\IZ,\cdot)[/mm] muss man das erzeugende Element wiederholt multiplizieren. In [mm]\IZ_6[/mm] z.B. ist die angesprochene Untergruppe zyklisch bezüglich der Multiplikation und wird von 2 erzeugt, denn es gilt ja [mm]2 = 2^1, \, 4 = 2^2, \, 0 = 6 = 2^3[/mm] weil wir ja in einer endlichen Gruppe sind.
Ich hoffe, das ist jetzt etwas klarer geworden. Wichtig ist halt, dass man immer die Verknüpfung der Gruppe nimmt um zu entscheiden, ob man das erzeugende Element wiederholt addieren und multiplizieren muss!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Do 10.01.2008 | | Autor: | Torboe |
ok, es etwas klarer ist es somit schon geworden.
Was mir aber nicht klar ist:
Du sagst 2 ist der Erzeuger in Z6. Weil [mm] 2^0=2, 2^1=2, 2^2=4, 2^3=6=0.
[/mm]
Aber hieß es nicht: Mittels dem Erzeuger sind alle Elemente darstellbar?
Aber Z6 besteht doch aus {0,1,2,3,4,5} und ich erreiche mit den 2er Potenzen nur Gerade zahlen?!
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Hallo Torboe,
nochmal ganz wichtig zur Unterscheidung:
In additiv geschriebenen zyklischen Gruppen mit Erzeuger $<g>$ schreibt man die Potenzen von $g$ als [mm] $\underbrace{g+g+g+.....+g}_{n-mal}=ng$
[/mm]
In multiplikativ geschriebenen Gruppen mit Erzeuger $<g>$ schreibt man die Potenzen von $g$ als [mm] $\underbrace{g\cdot{}g\cdot{}g\cdot{}....\cdot{}g}_{n-mal}=g^n$
[/mm]
Nun ist mit [mm] $\IZ_6$ [/mm] die ADDITIVE Restklassengruppe, also [mm] $(\IZ_6,\oplus)$ [/mm] gemeint:
[mm] $\IZ_6=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5}\}$
[/mm]
Und [mm] $\oplus$ [/mm] bezeichnet die Restklassenaddition [mm] $\overline{a}\oplus\overline{b}=\overline{a+b}$
[/mm]
Hier in [mm] $\IZ_6$ [/mm] ist also [mm] $\overline{1}$ [/mm] der Erzeuger.
Schreibe dir mal die "Potenzen" - also die additiven "Vielfachheiten" von [mm] $\overline{1}$ [/mm] auf.
Du wirst sehen, dass du damit alls Elemente von [mm] $\IZ_6$ [/mm] hinbekommst
Zu der anderen Menge [mm] $\IZ_3$: [/mm] Da verstehe ich nicht, was das sein soll?
Das ist keine Gruppe, weder additiv noch multiplikativ...
Was soll denn neutrales Element sein? Doch offensichtlich die 0, was ist mit der Abgeschlossenheit? Welche Verknüpfung hast du da genau?
Ich denke, du meinst wie im anderen Fall die ADDITIVE Gruppe [mm] $(\IZ_3,\oplus)$
[/mm]
mit [mm] $\IZ_3=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2}\}$
[/mm]
Auch hier ist dann [mm] $\overline{1}$ [/mm] der Erzeuger...
Probier's aus...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:28 Do 10.01.2008 | | Autor: | Torboe |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
wenn ich das richtig verstanden habe, ist in der ADDITIVEN Restklassengruppe immer 1 der erzeuger.
und in der multiplikativen hab ich mir zB überlegt:
$ (\IZ_7,*) $:
ist der erzeuger 3, weil:
mit 3 kann ich alle zahlen erzeugen:
und:
3^1 mod 7 = 3
3^2 mod 7 = 2
3^3 mod 7 = 6
3^4 mod7 = 4
3^5 mod 7 = 5
3^6 mod7 = 1
==> {1,2,3,4,5,
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:48 Do 10.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
deine Überlegungen sind schon OK.
Nur das Wort "DER" Erzeuger stört mich hier etwas.
Denn eine Gruppe kann durchaus mehr als ein erzeugendes Element haben.
Z.B. wir [mm] $(Z_7, [/mm] +)$ auch von der 6 erzeugt.
LG
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:23 Fr 11.01.2008 | | Autor: | Torboe |
danke schachuzipus und koepper.
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