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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 So 27.10.2013 | | Autor: | Maxga |
| Aufgabe | Sei G zyklische, endliche Gruppe mit neutralem Element e.
Zeige: Für jedes g [mm] \in [/mm] G exestiert n [mm] \in \IN [/mm] mit : [mm] g^n [/mm] = e |
Hey,
ich glaube ich habe noch ein wenig Probleme
mit der Vorstellung davon, denn ich hätte jetzt einfach gesagt:
Sei a [mm] \in [/mm] G das Element, welches G erzeugt.
Sei [mm] n_e \in \IZ [/mm] mit [mm] a^{n_e} [/mm] = e und sei g [mm] \in [/mm] G bel. und [mm] n_g \in \IZ [/mm] mit [mm] a^{n_g} [/mm] = g.
Dann ist [mm] g^{n_e} [/mm] = [mm] a^{n_g * n_e} [/mm] = [mm] a^{n_e} [/mm] * [mm] a^{n_e} [/mm] * ... * [mm] a^{n_e} [/mm] = e. (bzw. falls [mm] n_e [/mm] < 0 dann [mm] -n_e [/mm] * [mm] n_g [/mm] betrachten, macht für die Endbetrachtung keinen Unterschied, da [mm] a^{-n_e} [/mm] = [mm] a^{n_e} [/mm] )
Weiß aber nicht, wo ich benutze, dass G endlich ist? Und wo der Fehler ist(wird wohl falsch sein, wenn ich die Eigenschaft nicht benutze).
Danke euch schonmal,
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 So 27.10.2013 | | Autor: | hippias |
Tja, wo versteckt sich die Voraussetzung, dass $G$ endlich ist! Der Beweis jedenfalls ist im Prinzip voellig richtig. Du sollst Existenz einer natuerlichen Zahl nachweisen und hast Dir richtig ueberlegt, dass man stehts [mm] $n_{e}$ [/mm] als nicht negative Zahl voraussetzen kann. Aber: ich wette jeden Betrag, dass natuerliche Zahl hier [mm] $\neq [/mm] 0$ heisst. Und weshalb kann man davon ausgehen, dass [mm] $n_{e}\neq [/mm] 0$ ist? Genau!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 So 27.10.2013 | | Autor: | Maxga |
Aha! Okay das ergibt natürlich Sinn, hatte jetzt nicht dran gedacht,
dass mit natürlichen Zahlen hier wohl die Null ausgeschlossen wird,
danke dir.
Dass so ein [mm] n_e [/mm] != 0 exestiert würde ich jetzt so oder so ähnlich argumentieren:
Sei m die Anzahl der Elemente in G, d.h. [mm] G=\{ a^0 , a^1 , ... , a^{m-1} \}
[/mm]
Dann muss aber wegen [mm] a^m \in [/mm] G gelten, dass [mm] a^m [/mm] = [mm] a^k [/mm] für ein 0 <= k <= m-1 und damit
a^(m-k) = e. Also exestiert mit [mm] n_e [/mm] = m-k solch ein [mm] n_e [/mm] != 0.
lg
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