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zyklische Gruppen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:00 So 25.11.2007
Autor: johnny11

Aufgabe
Sie G eine zyklische Gruppe der Ordnung 6 (5,8). Wieviele Elemente erzeugen G?

Die Antworten zu der Aufgabe habe ich:

Ordnung 6: x, [mm] x^5 [/mm]
Ordnung 5: x, [mm] x^2, x^3, x^4 [/mm]
Ordnung 8: x, [mm] x^3, x^5, x^7 [/mm]

Sollte stimmen, oder?
Aber ich weiss nicht, wie man auf diese Lösungen kommt. Habe absolut keine Ahnung.

Noch eine andere kleine Frage nebenbei:

Besteht eine symmetrische Gruppe der Ordnung 3 immer aus folgenden Elementen:
[mm] {1,x,x^2,y,xy,x^2y}? [/mm]
oder kann man eine symmetrische Gruppe der Ordnung 3 auch mit anderen Elementen darstellen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
zyklische Gruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:06 So 25.11.2007
Autor: komduck

Sei x ein erzeugendes Element. Wir betrachten nun [mm] x^k [/mm] wenn k und die Gruppenordnung
einen gemeinsamen Teiler haben dann erzeugt [mm] x^k [/mm] nicht alle Elemente.

Man kann die [mm] S_3 [/mm] auch aus Elementen erzeugen die alle die Ordnung 2 haben.
Das gilt sogar für jede endliche symentrische Gruppe und somit für jede
endliche Gruppe.

komduck

Bezug
                
Bezug
zyklische Gruppen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:37 So 25.11.2007
Autor: johnny11

Hallo komduck ,
Vielen Dank für die tolle Antwort.

Wie steht es dann eigentlich bei folgender Frage:

"Wieviele Elemente einer zyklischen Gruppe der Ordnung n sind Erzeuger für die Gruppe? "

Gibt es da eine bestimmte Gesetzesmässigkeit?


Bezug
                        
Bezug
zyklische Gruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:59 So 25.11.2007
Autor: komduck

schau mal hier:
[]http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_%CF%86-Funktion

Bezug
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