zyklische Gruppe der Ordnung n < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:27 Mo 22.06.2009 | | Autor: | eppi1981 |
| Aufgabe | Sei (G,∗) eine zyklische Gruppe der Ordnung n und d > 0 sei ein Teiler von n .
Beweisen Sie: Die Anzahl der Elemente der Ordnung d in (G,∗) ist gleich ϕ (d) |
hallo,
ich brauche einen Tipp zu dieser Aufgabe
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> Sei (G,∗) eine zyklische Gruppe der Ordnung n und d >
> 0 sei ein Teiler von n .
> Beweisen Sie: Die Anzahl der Elemente der Ordnung d in
> (G,∗) ist gleich ϕ (d)
> hallo,
>
> ich brauche einen Tipp zu dieser Aufgabe
Hallo,
wir bräuchten Deine Lösungsansätze, zum Beispiel solche Vorarbeiten:
Was hast Du Dir bisher überlegt, an welcher Stelle scheiterst Du?
Was ist eine zyklische Gruppe?
Was bedeutet es, wenn ein Element die Ordnung d hat?
Was ist mit [mm] \phi(d) [/mm] gemeint?
Hast Du die Aufgabe schonmal ein Wenig konkretisiert? Auch das mag nützlich sein. Nimm Dir bespilsweise eine zyklische Gruppe der Ordnung 12, welche von a erzeugt wird, und such die Elmeente, die die Ordnung 6 haben. Welche sind das?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Mi 24.06.2009 | | Autor: | eppi1981 |
| Aufgabe | Aufgabe
Sei (G,∗) eine zyklische Gruppe der Ordnung n und d > 0 sei ein Teiler von n .
Beweisen Sie: Die Anzahl der Elemente der Ordnung d in (G,∗) ist gleich ϕ (d) |
ich kann leider das nicht beweisen :(
Jede zyklische Gruppe wird von einem Element erzeugt
[mm] G={a^0,a^1,..,a^(n-1)} [/mm]
wenn ein Element a die Ordnung d hat => [mm] a^d=e
[/mm]
[mm] \phi(d) [/mm] - Eulersche Funktion = [mm] n*\produkt_{p|n}(1-\bruch{1}{p})
[/mm]
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> Aufgabe
> Sei (G,∗) eine zyklische Gruppe der Ordnung n und d
> > 0 sei ein Teiler von n .
> Beweisen Sie: Die Anzahl der Elemente der Ordnung d in
> (G,∗) ist gleich ϕ (d)
> ich kann leider das nicht beweisen :(
Hallo,
dieser Zustand ändert sich oft, wenn die Vorarbeiten abgeschlossen sind.
Es muß ja auch nicht gleich alles perfekt sein.
>
>
> Jede zyklische Gruppe wird von einem Element erzeugt
> [mm] G=\{e=a^0,a^1,..,a^(n-1)\}
[/mm]
Genau, das ist ganz wichtig. Wenn man eine zyklische Gruppe der Ordnung n hat, dann gibt es ein Elment a, was das tut, was Du oben schreibst.
Damit G wirklich n Elemente enthält, darf natürlich keine der Potenzen in der Klammer das neutrale Element e ergeben.
> wenn ein Element a die Ordnung d hat => [mm]a^d=e[/mm]
Das ist nur die halbe Wahrheit.
Zusätzlich darf jede Potenz vor der d-ten nicht das neutrale Element e ergeben.
> [mm]\phi(d)[/mm] - Eulersche Funktion =
> [mm]n*\produkt_{p|n}(1-\bruch{1}{p})[/mm]
Du gibst hier die Berechnungsvorschrift für die Phi-Funktion an.
Die ist in diesem Zusammenhang ziemlich unwichtig.
Fürs Verständnis der Aufgabe wichtig ist etwas ganz anderes: [mm] \phi(n) [/mm] ist die Anzahl der zu n teilerfremden nat. Zahlen.
Dies gibt schon einen kleinen (bzw. großen...) Hinweis darauf, was man untersuchen muß.
Du wirst den Beweis erst führen können, wenn Du verstanden hast, worum es geht.
Dazu (nicht um Deine Freizeit zu verschönern...) hatte ich Dir ja zuvor den Vorschlag der Konkretisierung anhand der zyklischen Gruppe der Ordnung 12 gemacht.
Leider teilst Du nicht mit, was Du getan und herausgefunden hast. Warum nicht?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:36 Do 25.06.2009 | | Autor: | eppi1981 |
hallo,
der zyklischen Gruppe der Ordnung 12 ist
[mm] G={a^0,a^1,a^2,a^3,a^4,a^5,a^6,a^7,a^8,a^9,a^{10},a^{11}}
[/mm]
[mm] a^1,a^5,a^7,a^{11} [/mm] haben die Ordnung 12
[mm] a^6 [/mm] hat Ordnung 2
[mm] a^4,a^8 [/mm] - Ordnung 3
[mm] a^3,a^9 [/mm] -Ordnung 4
[mm] a^2,a^{10} [/mm] - Ordnung 6
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> hallo,
>
> der zyklischen Gruppe der Ordnung 12 ist
> [mm]G={a^0,a^1,a^2,a^3,a^4,a^5,a^6,a^7,a^8,a^9,a^{10},a^{11}}[/mm]
> [mm]a^1,a^5,a^7,a^{11}[/mm] haben die Ordnung 12
> [mm]a^6[/mm] hat Ordnung 2
[mm] \phi(2)=|\{1\}=1
[/mm]
> [mm]a^4,a^8[/mm] - Ordnung 3
[mm] \phi(3)=|\{1,2\}=2
[/mm]
> [mm]a^3,a^9[/mm] -Ordnung 4
[mm] \phi(4)=|\{1,3\}=2
[/mm]
> [mm]a^2,a^{10}[/mm] - Ordnung 6
[mm] \phi(6)=|\{1,5\}=2.
[/mm]
>
Aha, das ist doch schon was!
Du kannst hier jetzt auch gleich die Aussage verifizieren, ich habe den Wert der Phi-Funktion jeweils druntergeschrieben.
Du sollst nun ja zeigen, daß es für den Teiler d von n [mm] \phi(d) [/mm] Elemente gibt, deren Ordnung =d ist.
Sei n=t*d.
Jetzt kannst Du Dir ja mal überlegen, daß das Element [mm] e^t [/mm] sicher die Ordnung d hat.
Dafür ist zu zeigen, daß [mm] (e^t)^d=e [/mm] und daß für 0<k<n [mm] (e^t)^k\not=e.
[/mm]
(Schreib Dir oben beim Beispiel n=12 zu jedem Teiler d mal das passende t dazu und überzeuge Dich, daß [mm] a^t [/mm] immer dabei ist.)
Überlege Dir dann, daß als Element der Ordnung d nur Elemente der Machart [mm] a^{st} [/mm] infrage kommen.
Anleitung: nimm an, es hätte das Element [mm] a^{st+u} [/mm] mit 0<u<t die Ordnung d, und bedenke, daß a die Ordnung n=td hat.
(Siehst Du, daß auch bei n=12 alle Elemente von dieser Bauart sind?)
Als nächstes kannst Du folgendes tun: sei 0<r<d.
A.
Zeige: wenn r ein Teiler von d ist, also d=rs, dann hat das Element [mm] e^{tr} [/mm] nicht die Ordnung d.
Anleitung: rechne vor, daß es ein k mit 0<k<d gibt mit [mm] (e^{tr})^k=e
[/mm]
(Auch dies kannst Du oben überprüfen. Z.B. bei d=6. 3 teilt 6, und das Element [mm] a^{2*3}=a^6 [/mm] kommt bei den Elementen der Ordnung 6 nicht vor)
B.
Zeige nun: wenn r kein Teiler von d ist, dann hat [mm] a^{tr} [/mm] die Ordnung d.
Überlege Dir: die Ordnung ist nicht größer als d. Betrachte hierzu [mm] (a^{tr})^d.
[/mm]
Nimm dann an, daß [mm] a^{tr} [/mm] die Ordnung d'<d hat, und führe dies zu einem Widerspruch.
(Auch die Aussage B. kannst Du in Deinem beispiel bestätigen. Bei der Ordnung 6 beispielsweise haben wir die Elemente [mm] e^{2+1} [/mm] und [mm] e^{2*5}.)
[/mm]
Gruß v. Angela
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