zusammensetzung von e^x < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
huhu,
kleine Frage:
ist die Gleichung richtig:
[mm] e^x [/mm] = cos(x) + sin(x)
nach den Reihen setzt sich die exponentialfunktion als Reihe ja aus cosinus und sinus zusammen, doch wenn ich mitn taschenrechner werte eingebe kann diese gleichung ja nicht hinkommen^^
|
|
| |
|
Hallo,
> kleine Frage:
>
> ist die Gleichung richtig:
> [mm]e^x[/mm] = cos(x) + sin(x)
>
> nach den Reihen setzt sich die exponentialfunktion als
> Reihe ja aus cosinus und sinus zusammen, doch wenn ich mitn
> taschenrechner werte eingebe kann diese gleichung ja nicht
> hinkommen^^
Kein Wunder: du hast dich mit den Vorzeichen vertan. Damit die e-Funktiopn und die trigonometrischen Funktionen zusammenpassen, braucht es die komplexen Zahlen:
[mm] e^{i*x}=cos(x)+i*sin(x)
[/mm]
Man muss also den Sinusanteil noch um 90° in der komplexen Ebene drehen, damit die beiden Potenzreihen in der Summe die Potenzreihe der komplexen Exponentialfunktion ergeben.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
ahh ok^^
aber mit den Reihendarstellung gehts aber auch im reellen Bereich oder?
da trennt man ja die e- Reihe in geraden und ungeraden Summenteil auf.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> aber mit den Reihendarstellung gehts aber auch im reellen
> Bereich oder?
> da trennt man ja die e- Reihe in geraden und ungeraden
> Summenteil auf.
[mm] e^x=1+x+\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^3}{3!}+...
[/mm]
[mm] sin(x)=x-\bruch{x^3}{3!}+\bruch{x^5}{5!}-\bruch{x^7}{7!}+...
[/mm]
[mm] cos(x)=1-\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^4}{4!}-\bruch{x^6}{6!}+...
[/mm]
Und wie willst du die Sache mit den alternierenden Vorzeichen hinbiegen? 
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
^^
ja, in meinem schlauen Buch haben die einfach dann alternierende Vorzeichen vorgemacht [mm] (-1)^n [/mm] , das würde man so direkt nicht herleiten können^^
|
|
|
|
