zusammengesetzte Poissonvtlg. < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Di 14.07.2009 | | Autor: | AndyK |
| Aufgabe | | Die unabhängigen Zufallsgrößen [mm] $N_1, [/mm] ..., [mm] N_n$ [/mm] seien Poissonverteilt mit den Parametern [mm] $\lambda_1, ...,\lambda_n$; [/mm] gegeben seien ferner [mm] $x_1, [/mm] ..., [mm] x_n \in \IR_+$. [/mm] Man zeige, dass dann [mm] $\sum_{i=1}^{n}x_i N_i$ [/mm] eine zusammengesetzte Poissonverteilung besitzt. |
Hallo zusammen,
die Aufgabe ist soweit klar. Leider komme ich da aber irgendwie nicht sehr weit. Meine Ideen waren zuerst, das ganze einfach mit [mm] $P(\sum_{i=1}^{n}x_i N_i [/mm] = k)$, für $k [mm] \in \IN$ [/mm] oder über charakteristische Funktionen auszurechnen. Allerdings wäre es für mich wohl hilfreicher, wenn ich erstmal wüsste, was denn eine "zusammengesetzte Poissonverteilung" ist.  Zu diesem Begriff liegt mir jedenfalls keine Definition vor. Die Poissonverteilung ist mir dagegen klar.
Gruß,
AndyK
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Di 14.07.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
die Summe von poissonverteilten unabhängigen ZV's ist wieder poissonverteilt da die Poissonverteilung invariant gegenüber Faltung ist.
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:04 Fr 17.07.2009 | | Autor: | AndyK |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Damit nachfolgende Generationen eine Hilfestellung haben, werde ich hier mal die Lösung zu der Aufgabe und meine Frage erläutern:
Zur zusammengesetzten Poissonverteilung:
Zu einer Folge von rellen ZV $(X_i)$, die unabhängig und identisch Verteilt sind (also IID bzw UIV), und eine davon unabhängige ZV $N \sim \pi_\lambda$ (also poissonverteilt mit Parameter $\lambda$) betrachtet man folgende Summe:
$\sum_{j=1}^{N} X_j$
Die Anzahl der Summanden wird also durch $N$ bestimmt.
Nun kann man die Verteilungsfunktion dieser Summe ausrechnen. Dabei sei angenommen, dass für die $X_i$ gilt: $X_i \sim \mu$, mit irgendeiner Verteilung $\mu$:
Sei $x \in \IR:$
$P(\sum_{j=1}^{N} X_j \le x) = P(\bigcup_{n \in \IN_0}^{\bullet} \{ N = n, \sum_{j=1}^{n} X_j \le x) = \sum_{n \in \IN_0} e^{-\lambda} \frac{\lambda^n}{n!} \mu^{\ast n}((-\infty, x])$
wobei $\mu^{\ast n}$ die $n$-fache Faltung von $\mu$ bezeichnet.
Beispiel: Im Falle $\mu = \varepsilon_1$ ist dies, wegen \varepsilon_a \ast \varepsilon_b = \varepsilon_{a+b}$, gerade $\pi_\lambda$.
Berechnet man nun die charakteristische Funktion, so erhält man:
$\varphi(s) = exp( -\lambda (1-\varphi_\mu(s)))$
Beispiel: Im Falle $\mu = \varepsilon_1$ erhält man, wegen $\varphi_\varepsilon_1(s) = e^{is}$, die charakteristische Funktion der Poissonverteilung $\pi_\lambda$, also $exp( -\lambda (1-e^{is}))$
Lösung der Aufgabe:
Durch Berechnung der charakteristischen Funktion von $\sum_{j=1}^{n}x_j N_j$ erhält man:
$\varphi_{\sum_{j=1}^{n}x_j N_j}(s) = exp(-\sum_{j=1}^{n} \lambda_j (1-e^{isx_j})) = exp(-\lambda (1-\sum_{j=1}^{n} \frac{\lambda_j}{\lambda} e^{isx_j})) $
wobei
$ \sum_{j=1}^{n} \frac{\lambda_j}{\lambda} e^{isx_j} $ die charakteristische Funktion des W-Maßes $\sum_{j=1}^{n} \frac{\lambda_j}{\lambda} \varepsilon_{x_j} $ ist.
Also besitzt die in der Aufgabe genannte Summe eine zusammengesetzte Poissonverteilung.
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