zufällige Ereignisse < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Do 15.01.2009 | | Autor: | sask1a |
| Aufgabe | Für die zufälligen Ereignisse A und B seien
[mm] P(A\cup B)=\bruch{11}{12}; P(A\cap B)=\bruch{1}{6} [/mm] und [mm] P(\overline{A} \cap [/mm] B) [mm] =\bruch{1}{3}
[/mm]
bekannt. Berechnen Sie P(A), P(B) und P(A \ B) |
Mir ist klar, dass erstes die Wahrscheinlichkeit ist, dass A oder B auftritt, dass zweites bedeutet, dass A und B erfüllt sein müssen und drittens B aber nicht A erfüllt ist.
Ja, erstes ist die Summe und zweites das Produkt der Ereignisse... und nun?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 Do 15.01.2009 | | Autor: | biic |
hi.
> Für die zufälligen Ereignisse A und B seien
> [mm]P(A\cup B)=\bruch{11}{12}; P(A\cap B)=\bruch{1}{6}[/mm] und
> [mm]P(\overline{A} \cap[/mm] B) [mm]=\bruch{1}{3}[/mm]
>
> bekannt. Berechnen Sie P(A), P(B) und P(A \ B)
> Mir ist klar, dass erstes die Wahrscheinlichkeit ist, dass
> A oder B auftritt, dass zweites bedeutet, dass A und B
> erfüllt sein müssen und drittens B aber nicht A erfüllt
> ist.
>
> Ja, erstes ist die Summe
nur falls A und B disjunkt sind, also A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset
[/mm]
im allgemeinen ist: P(A [mm] \cup [/mm] B) = P(A) + P(B) - P(A [mm] \cap [/mm] B)
> und zweites das Produkt der Ereignisse...
bei unabhängigen, aber ich denke davon können wir hier ausgehen.
> und nun?
wenn ich das richtig sehe (bin etwas aus der übung), ist hier erstmal P(B) das einfachste.
dazu schaue dir mal P(A [mm] \cap [/mm] B) und [mm] P(\overline{A} \cap [/mm] B) an. Wie kann man das kombinieren ?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:44 Do 15.01.2009 | | Autor: | sask1a |
[mm] P(\overline{A} \cap [/mm] B) errechnet sich vielleicht aus P(B) - P(A [mm] \cap [/mm] B), da es die Wahrscheinlichkeit von P(B), aber ohne alle Möglichkeiten von A und B gemeinsam ist. A ist ja nicht dabei.
Kann ich dann einfach diese Rechnung aufstellen:
[mm] \bruch{1}{3}=P(B)-\bruch{1}{6}
[/mm]
und somit [mm] P(B)=\bruch{1}{3}+\bruch{1}{6}=\bruch{1}{2} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 Do 15.01.2009 | | Autor: | biic |
genau.
begründen kann man das mit der regel, die ich schon geschrieben habe:
P(A [mm] \cup [/mm] B) = P(A) + P(B) - P(A [mm] \cap [/mm] B)
wenn du dir anguckst:
P((A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup (\overline{A} \cap [/mm] B)) = P(A [mm] \cap [/mm] B) + [mm] P(\overline{A} \cap [/mm] B) - P ((A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cap (\overline{A} \cap [/mm] B))
Dabei gilt für die erste Menge:
(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup (\overline{A} \cap [/mm] B) = B [mm] \cap [/mm] (A [mm] \cup \overline{A}) [/mm] = B [mm] \cap \Omega [/mm] = B
und für die letzte menge :
(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cap (\overline{A} \cap [/mm] B) = A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap \overline{A} \cap [/mm] B
=A [mm] \cap \overline{A} \cap [/mm] B
[mm] =\emptyset \cap [/mm] B = [mm] \emptyset
[/mm]
und [mm] P(\emptyset)=0.
[/mm]
Also ist (*):
P(B) = P(A [mm] \cap [/mm] B) + [mm] P(\overline{A} \cap [/mm] B) - 0
Da ich wie gesagt aus der übung bin lasse ich das mal offen damit noch mal kurz jemand drüber guckt, aber ich denke das müsste so passen.
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