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zu Idealen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:22 Mi 17.02.2010
Autor: piccolo1986

Aufgabe
Seien I und J zwei Ideale in [mm] \IZ. [/mm]
z.z.: [mm] IJ=(I+J)(I\cap [/mm] J)

kann mir jemand bei der Frage helfen, komm da irgendwie nicht weiter

        
Bezug
zu Idealen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:29 Mi 17.02.2010
Autor: statler

Hi!

> Seien I und J zwei Ideale in [mm]\IZ.[/mm]
>  z.z.: [mm]IJ=(I+J)(I\cap[/mm] J)
>  kann mir jemand bei der Frage helfen, komm da irgendwie
> nicht weiter

Erstmal finde ich, daß die Frage ein bißchen wenig Drumherum zeigt, also Gruß und Abspann usw.

In Z sind alle Ideale Hauptideale, was bedeutet das hier für diese Aufgabe?

Gruß aus HH-Harburg
Dieter


Bezug
                
Bezug
zu Idealen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:36 Mi 17.02.2010
Autor: piccolo1986

also Hauptideal bedeutet ja, dass die Ideale je von nur einem Element erzeugt werden, ich seh aber nicht so recht, wie ich das hier nutzen kann :-(


mfg
piccolo

Bezug
                        
Bezug
zu Idealen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:49 Mi 17.02.2010
Autor: SEcki


> also Hauptideal bedeutet ja, dass die Ideale je von nur
> einem Element erzeugt werden, ich seh aber nicht so recht,
> wie ich das hier nutzen kann :-(

Welches Element erzeugt I+J, welches den Schnitt? denk mal an ggT, kgV, Formeln dafür ...

SEcki

Bezug
                                
Bezug
zu Idealen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:11 Mi 17.02.2010
Autor: piccolo1986


> > also Hauptideal bedeutet ja, dass die Ideale je von nur
> > einem Element erzeugt werden, ich seh aber nicht so recht,
> > wie ich das hier nutzen kann :-(
>  
> Welches Element erzeugt I+J, welches den Schnitt? denk mal
> an ggT, kgV, Formeln dafür ...
>  

also der Schnitt von I und J wird erzeugt vom kgV. also da es ja um Ideale aus [mm] \IZ [/mm] geht und das alles Hauptideale sind, kann ich ja annehmen, dass I von a und J von b erzeugt wird, also wenn dann
k=kgV(a,b) dann ist [mm] I\cap J=k\IZ [/mm]

für I+J gilt dann, dass man denn ggt(a,b) benötigt:
g=ggt(a,b)=ra+sb für geeignete r uns s aus [mm] \IZ [/mm]
Also [mm] I+J=g\IZ [/mm]

für I*J gilt dann: [mm] I*J=a*b\IZ [/mm]

ist das bis hierher soweit richtig?

dann hab ich insgesamt: (ich lass das [mm] \IZ [/mm] mal weg)
a*b=kgv(a,b)*ggt(a,b)

dies gilt doch allgemein oder? und dann wär ich also fertig? bin mir da unsicher, ob das so immer gilt.

mfg
piccolo

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Bezug
zu Idealen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:22 Do 18.02.2010
Autor: SEcki


> ist das bis hierher soweit richtig?

Ja. (Solange irh das alles bewiesen habt, sonst musst du es noch beweisen!)

> dann hab ich insgesamt: (ich lass das [mm]\IZ[/mm] mal weg)
>  a*b=kgv(a,b)*ggt(a,b)
>  
> dies gilt doch allgemein oder?

Ja.

> und dann wär ich also
> fertig? bin mir da unsicher, ob das so immer gilt.

Damit wäre alles gezeigt.

SEcki

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Bezug
zu Idealen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:09 Do 18.02.2010
Autor: tobit09

Hallo piccolo,

> dann hab ich insgesamt: (ich lass das [mm]\IZ[/mm] mal weg)
>  a*b=kgv(a,b)*ggt(a,b)
>  
> dies gilt doch allgemein oder?

Fast. kgV und ggT sind (nach der Definition, die ich kenne) nur bis auf Assoziiertheit (also Multiplikation mit Einheiten) eindeutig (d.h. in [mm] $\IZ$ [/mm] nur bis auf das Vorzeichen). Es gilt somit i.A. nur $a*b$ ist assoziiert zu [mm] $\operatorname{kgV}(a,b)*\operatorname{ggT}(a,b)$. [/mm] Das reicht aber, damit die beiden davon erzeugten Ideale übereinstimmen.

Viele Grüße
Tobias

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