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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Fr 04.11.2005 | | Autor: | Cecily |
Hmpf, mein alter Thread "Systematiseirung aller Funktionen" lässt sich nicht mehr finden, weil die Suchfunktion z.Z außer Betrieb ist. Nun denn, nochmal ein paar Fragen:
Symmetrie: ist die sinus-Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung oder achsensymmetrisch zu einer Parallelen der y.Achse?
Wurzelfunktionen: ich habe mir gedacht, wenn bei y=x^Bruch der Nenner des Bruches ungerade ist, dann dürften doch auch negative Zahlen in der Definitionsmege sein und somit auch negative in der Wertemenge; allerdings gibt es keine negativen Werte, wenn ich mir dne Graph von vivitab zeichnen lasse. wie kann das sein? [mm] $(-1)^{1/3}$ [/mm] z.B. ist schließlich -1.
Asymptoten: Bei welchen Funktionen gibt es Asymptoten? Auch bei der Potenzfunktion?
was bedeutet Beschräktheit und bei welchern Funktionen gibt es das?
Danke schonmal :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, Cecily,
> Hmpf, mein alter Thread "Systematiseirung aller Funktionen"
> lässt sich nicht mehr finden, weil die Suchfunktion z.Z
> außer Betrieb ist.
Sachau doch mal hier: https://matheraum.de/read?i=103313
> Nun denn, nochmal ein paar Fragen:
> Symmetrie: ist die sinus-Funktion punktsymmetrisch zum
> Ursprung oder achsensymmetrisch zu einer Parallelen der
> y.Achse?
Beides! Die Sinusfunktion hat unendlich viele Symmetriezentren und auch Symmetrieachsen!
> Wurzelfunktionen: ich habe mir gedacht, wenn bei y=x^Bruch
> der Nenner des Bruches ungerade ist, dann dürften doch auch
> negative Zahlen in der Definitionsmege sein und somit auch
> negative in der Wertemenge; allerdings gibt es keine
> negativen Werte, wenn ich mir dne Graph von vivitab
> zeichnen lasse. wie kann das sein? [mm](-1)^{1/3}[/mm] z.B. ist
> schließlich -1.
Das liegt an der Definition der Wurzelfunktionen.
In den meisten Büchern wird festgelegt:
y = [mm] \wurzel[n]{x} [/mm] nur für x [mm] \ge [/mm] 0, gleichgültig welcher Wurzelexponent vorliegt!
>
> Asymptoten: Bei welchen Funktionen gibt es Asymptoten? Auch
> bei der Potenzfunktion?
Schau erst mal in Deinen ursprünglichen Thread!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Fr 04.11.2005 | | Autor: | Cecily |
Ok, danke. aber die Tangensfunktion ist nur punktsymmetrisch, sehe ich das richtig? wie könnte ich denn ausdrücken, dass es unedlich viele Symmetrieachsen gibt?
(ich bekomme langsam Angst, ich muss diese Tabelle endlich mal fretig bekommen :( )
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Hallo!
> Ok, danke. aber die Tangensfunktion ist nur
> punktsymmetrisch, sehe ich das richtig? wie könnte ich denn
> ausdrücken, dass es unedlich viele Symmetrieachsen gibt?
Was sollte die Tangensfunktion denn sonst noch sein? Naja, mit den mehreren Symmetrieachsen kannst du doch einfach alle angeben: [mm] \{x=k\pi|k\in\IN\}. [/mm] Oder?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Cecily |
danke an euch beide für die Antworten.
Kann ich jetzt die Monotonie so beschreiben:
w = 1 Periode
bei sinx: bis ¼*w streng monoton steigend von ¼ bis ¾ fallend, von ¾ bis w steigend
bei cosx:bis ½*w streng monoton fallend, von ½*w steigend
bei tanx:streng monoton steigend{x=kp/k [mm] \in [/mm] N}
Wirkt nicht so elegant, aber ist es jetzt richtig? also habe ich jetzt den Bereich ausgeweitet?
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Hi, Cecily,
> w = 1 Periode
> bei sinx: bis ¼*w streng monoton steigend von ¼ bis ¾
> fallend, von ¾ bis w steigend
> bei cosx:bis ½*w streng monoton fallend, von ½*w steigend
Also: Ich tät's lieber Durch Vielfache von [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] ausdrücken:
Der Graph der Sinusfunktion fällt ja z.B. in [mm] [\bruch{\pi}{4} [/mm] ; [mm] \bruch{3}{4}\pi [/mm] ] sowie in [mm] [\bruch{5}{4}\pi [/mm] ; [mm] \bruch{7}{4}\pi [/mm] ] usw.
er steigt z.B. in [mm] [\bruch{3}{4}\pi [/mm] ; [mm] \bruch{5}{4}\pi [/mm] ] usw.
Man könnte dass allgemein z.B. so ausdrücken:
Echt monoton fallend in den Intervallen [mm] [\bruch{\pi}{4}+k*\pi [/mm] ; [mm] \bruch{3}{4}\pi+k*\pi [/mm] ], wobei k [mm] \in\IZ
[/mm]
echt monoton steigend in den Intervallen [mm] [\bruch{3}{4}\pi+k*\pi [/mm] ; [mm] \bruch{5}{4}\pi +k*\pi [/mm] ] (k wie oben!)
(Analog beim Cosinus)
> bei tanx:streng monoton steigend (x=kp/k [mm]\in[/mm] N)
So stimmt dass natürlich nicht. Der Tangens ist in allen Intervallen "zwischen seinen Polen" steigend; und diese sind die UNgeradzahligen Vielfachen von [mm] \bruch{\pi}{2}:
[/mm]
] [mm] (2k-1)*\bruch{\pi}{2} [/mm] ; [mm] (2k+1)*\bruch{\pi}{2} [/mm] [ (wieder mit k [mm] \in \IZ.)
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Cecily |
Vielen Dank, wirkt schon um einiges eleganter als meine Lösung...ich sollte es öfter mit der Intervallschreibweise probieren :
Stimmt die Analogie bei der cos-Funktion so:
[0+kp ; p/2+ kp ] monoton fallend, in [p/2+ kp; p+ kp ] monoton steigend
nicht, dass ich mich wieder verrechne.
Ich müsste jetzt nur noch wissen, was Extremwerte und Beschränktheit bedeutet, das müssen wir auch machen :/
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Hi, Cecily,
> Stimmt die Analogie bei der cos-Funktion so:
> [0+kp ; p/2+ kp ] monoton fallend, in [p/2+ kp; p+ kp ] monoton steigend
Nein, nein: Beim Cosinus ist alles viel einfacher, denn da kannst Du mit Vielfachen von [mm] \pi [/mm] arbeiten:
echt monoton fallend in [ [mm] 2k*\pi [/mm] ; [mm] (2k+1)*\pi [/mm] ];
echt monoton steigend in [ [mm] (2k-1)*\pi [/mm] ; [mm] 2k*\pi [/mm] ]
>
> Ich müsste jetzt nur noch wissen, was Extremwerte und
> Beschränktheit bedeutet, das müssen wir auch machen :/
(Relative) Extremwerte sind eigentlich nur die y- Koordinaten der (relativen) Extrempunkte, also der Hoch- und Tiefpunkte.
Bei einer Parabel mit positivem Leitkoeffizienten ist der Scheitel der Tiefpunkt, bei einer Parabel mit negativem Leitkoeffizienten ist der Scheitel der Hochpunkt.
Potenzfunktionen [mm] y=x^{n} [/mm] mit n [mm] \in \IN, [/mm] n ungerade: keine Extrempunkte.
Potenzfunktionen [mm] y=x^{n} [/mm] mit n [mm] \in \IN, [/mm] n gerade: T(0;0) Tiefpunkt.
Potenzfunktionen [mm] y=x^{-n} [/mm] mit n [mm] \in \IN: [/mm] keine Extrempunkte.
Wurzelfunktionen y = [mm] \wurzel[n]{x} [/mm] mit x [mm] \ge [/mm] 0: T(0;0) Tiefpunkt.
Exponentialfunktionen [mm] y=a^{x}: [/mm] keine Extrempunkte;
Logarithmusfunktionen y = [mm] log_{a}(x): [/mm] keine Extrempunkte.
Trigonometrische Funktionen:
Tangensfunktion y=tan(x): keine Extrempunkte.
Sinusfunktion y=sin(x):
Hochpunkte [mm] H((4k+1)*\bruch{\pi}{2} [/mm] ; 1)
Tiefpunkte [mm] T((4k-1)*\bruch{\pi}{2} [/mm] ; -1)
Cosinusfunktion:
Hochpunkte [mm] H(2k*\pi; [/mm] 1)
Tiefpunkte [mm] T((2k+1)*\pi [/mm] ; -1)
Ach ja: Beschränktheit.
Eine Funktion heißt "nach oben beschränkt", wenn sie eine bestimmte Grenze S nicht überschreitet: f(x) [mm] \le [/mm] S für alle x [mm] \in [/mm] D.
Eine Funktion heißt "nach unten beschränkt", wenn sie eine bestimmte Grenze s nicht überschreitet: f(x) [mm] \ge [/mm] s für alle x [mm] \in [/mm] D.
Eine Funktion heißt "beschränkt", wenn sie "zwischen 2 Grenzen liegt":
s [mm] \le [/mm] f(x) [mm] \le [/mm] S.
Z.B. sind die Sinus- und die Cosinus-Funktion beschränkt, denn es gilt:
-1 [mm] \le [/mm] sin(x) [mm] \le [/mm] 1 (ebenso für den Cosinus!);
der Tangens ist nicht beschränkt, der Logarithmus auch nicht.
Die Exponentialfunktionen [mm] y=a^{x} [/mm] sind nach unten beschränkt [mm] (a^{x} [/mm] > 0) aber nicht nach oben.
Und für die restlichen Funktionen überlegst Du Dir's nun selbst!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 So 06.11.2005 | | Autor: | Cecily |
okj, was ich mir überlegt habe:
bei Quadratfunktionen bei a>0 nach unten beschärnkt (y wird nie kleiner als der Tiefpunkt), bei a>0 nach oben beschränkt (y wird nie größer als Hochpunkt)
bei linearer Funktion: keine Beschränktheit
Mal wieder etwas, was sich viel schwerer anhört, als es ist XD
Jetzt müsste ich alles haben, vielen Dank nochmal :)
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Hi, Cecily,
> okj, was ich mir überlegt habe:
> bei Quadratfunktionen bei a>0 nach unten beschränkt (y
> wird nie kleiner als der Tiefpunkt), bei a>0 nach oben
> beschränkt (y wird nie größer als Hochpunkt)
Tippfehler: a < 0 !!!
> bei linearer Funktion: keine Beschränktheit
Naja: Natürlich mit Ausnahme des Trivialfalles: m=0
>
> Mal wieder etwas, was sich viel schwerer anhört, als es ist
> XD
>
> Jetzt müsste ich alles haben, vielen Dank nochmal :)
Okidoki!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Cecily |
ahh, ich kenne mich mit den Funktionen dieses Forums noch nicht so aus XD
deswegen ist der Artikel jetzt als fehlerhaft deklariert-
mir ist etwas aufgafellen, was nicht sein kann:
eine Periode sind ja zwei pi
>Hochpunkte $ [mm] H((4k+1)\cdot{}\bruch{\pi}{4} [/mm] $ ; 1)
>Tiefpunkte $ [mm] T((4k-1)\cdot{}\bruch{\pi}{4} [/mm] $ ; -1)
dann kann das doch nicht stimmen??? Ich habe es ganz oft nachgerechnet, und ich denke mir, es muss doch /pi / 2 sein, oder nicht? es kann doch nicht /pi /4 sein
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Hi, Cecily,
hab' Deine Bemerkung grad erst gefunden!
> mir ist etwas aufgefallen, was nicht sein kann:
> eine Periode sind ja zwei pi
>
> >Hochpunkte [mm]H((4k+1)\cdot{}\bruch{\pi}{4}[/mm] ; 1)
> >Tiefpunkte [mm]T((4k-1)\cdot{}\bruch{\pi}{4}[/mm] ; -1)
>
> dann kann das doch nicht stimmen??? Ich habe es ganz oft
> nachgerechnet, und ich denke mir, es muss doch /pi / 2
> sein, oder nicht? es kann doch nicht /pi /4 sein
Hast natürlich Recht! Da war ich mal wieder zu schludrig!![[verlegen]](/images/smileys/verlegen.gif "[verlegen]")
(Hab's grad ausgebessert!)
Aber man merkt: Jetzt steigst Du langsam durch!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Cecily |
Ok, ich habe mich schon gewundert ;) Habe nämlich nochmal alles nachgerechnet, damit auch ja kein Fehler drin ist (morgen ist Abgabetermin)
>Aber man merkt: Jetzt steigst Du langsam durch!
Das hoffe ich doch, dass ich aus dieser Endlos-Hausaufgabe auch was gelernt habe, schließlich will ich nächstes Schuljahr Math-LK nehmen...ähm ja...
Also nochmal danke, bevor ich ewig herumlabere
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:51 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Cecily!
Die unendlich vielen Asymptoten kannst Du begründen mit der periodischen Eigenschaft des Tangens.
Schließlich wiederholt sich das Bild der Tangensfunktion mit dem Abstand (der Periode) von [mm] $\pi$ [/mm] unendlich oft, und damit auch jedesmal die vertikale Asymptote.
Gruß
Loddar
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