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hallo ihr.
[mm] U;={(x_1,x_2,x_3)\in \IR^3 | x_1+x_2-x_3=0}
[/mm]
Ich soll für diesen Vektorraum eine Basis kontruieren und steht gerade totoal auf dem Schlauch was ich tuen muss.
Des Weiteren soll ich für den von diesen Vektoren [mm] v_1= \vektor{1\\-2 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] v_2=\vektor{0 \\ 0 \\ 2 \\ 5} v_3=\vektor{-2 \\ 4 \\ 2 \\ 3} [/mm] Unterraum des [mm] R^4 [/mm] eine Basis konstrueiren.
Jeder Vektor dieses Unterraums hat die Darstellung
[mm] v_3=\vektor{\alpha -2*\gamma
\\-2*\alpha +4*\gamma \\ 2*\beta +2*\gamma \\ \alpha +5*\beta+3*\gamma}, [/mm] aber wie finde ich eine Basis..Es muss doch eine 3-elementige sein oder???
Vielen Dank für euren Hilfen immer!!!Ohne euch wäre diese Prüfung verloren.
Danke
Lg Sandra
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> hallo ihr.
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> [mm]U;=\{(x_1,x_2,x_3)\in \IR^3 | x_1+x_2-x_3=0}\}[/mm]
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> Ich soll für diesen Vektorraum eine Basis kontruieren und
> steht gerade totoal auf dem Schlauch was ich tuen muss.
Hallo,
Die Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems bilden einen Vektorraum, und dieser hat eine Basis.
Dein lineares GS, dessen Lösungsraum Du wissen willst, ist
[mm] x_1+x_2-x_3=0.
[/mm]
Nach Belieben kannst Du es Dir auch schreiben als
[mm] \pmat{ 1 & 1&-1 \\ 0 & 0&0\\ 0 & 0&0}\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}=\vektor{0 \\ 0\\0}.
[/mm]
Du suchst also eine Basis des Kerns der Matrix [mm] \pmat{ 1 & 1&-1 \\ 0 & 0&0\\ 0 & 0&0}
[/mm]
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> Des Weiteren soll ich für den von diesen Vektoren [mm]v_1= \vektor{1\\-2 \\ 0 \\ 1}[/mm]
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> [mm]v_2=\vektor{0 \\ 0 \\ 2 \\ 5} v_3=\vektor{-2 \\ 4 \\ 2 \\ 3}[/mm]
> Unterraum des [mm]R^4[/mm] eine Basis konstrueiren.
Du hast hier drei Vektoren, welche mit Sicherheit einen Unterraum des [mm] \IR^4 [/mm] erzeugen.
Aus diesem Erzeugendensystem kannst Du nun eine Basis ausfiltern:
Nimm [mm] v_1 [/mm] als ersten Basisvektor.
Nun guckst Du, ob [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] lin. unabh. sind.
Wenn ja, ist [mm] v_2 [/mm] Dein zweiter Basisvektor, wenn nein, dann fliegt er.
Nun nimmst Du [mm] v_3 [/mm] und schaust, ob er von den bereits in die zu bildende Basis genommenen Vektoren unabhängig ist. Wenn ja: Rein. Wenn nein: raus.
> aber wie finde ich eine Basis..Es muss doch eine
> 3-elementige sein oder???
Keinesfalls. Sie ist höchstens dreielementig. Der aufgespannte VR ist von der Dimension 1,2 oder 3.
Gruß v. Angela
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