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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Di 20.10.2009 | | Autor: | muss_ |
| Aufgabe | Sie spielen das Gewinnspiel um ein Auto (siehe das „Auto oder Ziege“-Problem) nicht
mit einem Spielleiter, sondern mit einer zweiten Person, die auch nicht weiß, hinter
welcher Tür das Auto steht. Sie wählen als erster eine Tür, dann ihr Gegner eine der
zwei verbleibenden und dann entscheiden Sie, ob Sie zur dritten Tür wechseln oder nicht.
(i) Geben Sie ein geeignetes Modell an.
(ii) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnen Sie das Auto, wenn sie wechseln?
(iii) Wie sind die Chancen, wenn sie nicht wechseln?
(iv) a) Welche Gewinnchancen hat ihr Gegner. b) Hängen seine Chancen von Ihrer Strategie ab? |
(i) [mm] \Omega [/mm] = [mm] \left\{ (\omega_1, \omega_2) | \omega_i \in \left\{ Z,A\right\} , \omega_1=\omega_2 \Rightarrow \omega_i \ne A \right\}
[/mm]
[mm] |\Omega| [/mm] = 3 * 2
wobei [mm] \omega_i [/mm] der wahl vom i-ten spieler entsprechen soll
kann es sein, dass die wahl der strategie nicht vom modell abhängt?
wenn ja nur in diesem konkreten fall?
(ii) [mm] E_1 [/mm] = [mm] \left\{ \omega \in \Omega | \omega_i = Z \right\}
[/mm]
also entspräche [mm] E_1 \left\{ (Z_1,Z_2), (Z_2, Z_1) \right\} [/mm] ,angenommen die ziegen wären unterscheidbar
[mm] |E_1| [/mm] = 2, [mm] P(E_1) [/mm] = [mm] \frac{1}{3}
[/mm]
(iii) [mm] E_2 [/mm] = [mm] \left\{ \omega \in \Omega | \omega_1 = A \right\}
[/mm]
wir wählen direkt richtig und [mm] \omega_2 [/mm] wählt zischen den 2 übrigen Z
[mm] |E_2| [/mm] = 2, somit [mm] P(E_2) [/mm] = [mm] P(E_1)
[/mm]
(iv) b) Wenn er davon ausgeht das wir wechseln wollen müsste er dieses bei seiner wahl schon mitberücksichtigen, die chancen sind allerdings diesselben
a) [mm] E_3 [/mm] = [mm] \left\{ \omega \in \Omega | \omega_2 = A \right\}
[/mm]
[mm] |E_3| [/mm] = 2, somit [mm] P(E_3) [/mm] = [mm] P(E_1)
[/mm]
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wichtige Rückfrage:
wird da überhaupt irgendein Tor geöffnet, bevor
sich der erste Spieler entscheiden soll, ob er
wechseln soll oder nicht ?
Wenn das Ganze ohne Öffnen eines Tores geschehen
soll, ändert sich die Informationslage überhaupt nicht,
und das Spiel bleibt ein reines Glücksspiel (und ein
ziemlich langweiliges dazu) mit Gewinnchance 1/3
für jeden der beiden Spieler.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:00 Di 20.10.2009 | | Autor: | muss_ |
genoaso dachte ich eigentlich auch.
aber ich bin mir nicht sicher ob mein omega richtig ist
Lösungsweg ist auch ziemlich wichtig. würde mich freuen wenn ihr zu omega auch was sagen könnt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:24 Mi 21.10.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo,
würde mich auch interessieren, ob die Modellierung richtig ist.
Weiß jemand da Rat ?
Gruß
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:55 Mi 21.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Christian,
> würde mich auch interessieren, ob die Modellierung richtig
> ist.
> Weiß jemand da Rat ?
das [mm] $\Omega$ [/mm] kann man zwar so nehmen wie muss_ das getan hat, aber dann muss man erstmal nachpruefen wie die Wahrscheinlichkeitsverteilung eigentlich aussehen soll -- eine Laplaceverteilung ist's da naemlich nicht.
Wenn man aber etwa [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{ (x, y, z) \in \{ 1, 2, 3 \}^3 \mid y \neq z \}$ [/mm] nimmt ($x$ - Tor hinter dem das Auto ist, $y$ - Tuer welche Spieler 1 nimmt, $z$ - Tuer welche Spieler 2 nimmt), bekommt man einen Laplaceraum.
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:52 Mi 21.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sie spielen das Gewinnspiel um ein Auto (siehe das „Auto
> oder Ziege“-Problem) nicht
> mit einem Spielleiter, sondern mit einer zweiten Person,
> die auch nicht weiß, hinter
> welcher Tür das Auto steht. Sie wählen als erster eine
> Tür, dann ihr Gegner eine der
> zwei verbleibenden und dann entscheiden Sie, ob Sie zur
> dritten Tür wechseln oder nicht.
> (i) Geben Sie ein geeignetes Modell an.
> (ii) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnen Sie das Auto,
> wenn sie wechseln?
> (iii) Wie sind die Chancen, wenn sie nicht wechseln?
> (iv) a) Welche Gewinnchancen hat ihr Gegner. b) Hängen
> seine Chancen von Ihrer Strategie ab?
>
> (i) [mm]\Omega[/mm] = [mm]\left\{ (\omega_1, \omega_2) | \omega_i \in \left\{ Z,A\right\} , \omega_1=\omega_2 \Rightarrow \omega_i \ne A \right\}[/mm]
>
> [mm]|\Omega|[/mm] = 3 * 2
Nein, dein [mm] $\Omega$ [/mm] besteht aus drei Elementen: $(Z, Z)$, $(A, Z)$ und $(Z, A)$.
> wobei [mm]\omega_i[/mm] der wahl vom i-ten spieler entsprechen
> soll
Dann sollte da nicht $A$ oder $Z$ (fuer Auto und Ziege) stehen, sondern Tuer 1, 2, 3. Dann hast du allerdings ein grosses Problem: dies ist kein Laplace-Raum. (Und die Tueren sind nicht unterscheidbar, d.h. du kannst das Problem hiermit ueberhaupt nicht umsetzen.)
Du musst dir also ein anderes [mm] $\Omega$ [/mm] suchen.
Wenn du auf Nummer sicher gehen willst, sollte ein Ereignis im Ereignisraum folgendes wiederspiegeln:
1) hinter welcher Tuer ist das Auto,
2) welche Tuer hat Spieler 1 gewaehlt,
3) welche Tuer hat Spieler 2 gewaehlt.
Wenn man davon ausgeht, das sich alle voneinander unabhaengig entscheiden (und zwar gleichmaessig verteilt), dann erhaelst du einen Laplace-Raum mit dem du alles beschreiben kannst.
Du kannst natuerlich auch argumentieren, dass ohne Einschraenkung das Auto hinter Tuer 1 steht; in dem Fall wird dein [mm] $\Omega$ [/mm] kleiner.
> kann es sein, dass die wahl der strategie nicht vom modell
> abhängt?
Wenn du die Aufgabenstellung richtig modellierst, ist es egal wie dein Modell konkret aussieht -- die Strategie haengt nur von Daten ab, die in allen "richtigen" Modellen gleich sind.
> wenn ja nur in diesem konkreten fall?
>
> (ii) [mm]E_1[/mm] = [mm]\left\{ \omega \in \Omega | \omega_i = Z \right\}[/mm]
>
> also entspräche [mm]E_1 \left\{ (Z_1,Z_2), (Z_2, Z_1) \right\}[/mm]
> ,angenommen die ziegen wären unterscheidbar
Jetzt willst du ploetzlich unterscheidbare Ziegen. Bei deinem [mm] $\Omega$ [/mm] waren sie das aber nicht.
Stell erstmal ein richtiges [mm] $\Omega$ [/mm] auf (wo du auch einen Laplaceraum hast) und dann versuch die Mengen aufzuschreiben, die du brauchst, und sie zu zaehlen.
LG Felix
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