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| Aufgabe | Zeige f : [mm] \IR \to \IR [/mm] mit f(x) := [mm] e^{1-x^2} [/mm]
Hinweis: Benutze den Mittelwertsatz |
Hallo,
ich hänge gerade bei dieser Aufgabe.
Zunächst habe ich mir den Graphen angeschaut. Von der Form her eine Gaussglocke. D.h. die Steigung von [mm] e^{1-x^2} [/mm] ist beschränkt. Es gibt also ein [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] Rechteck wo der Graph überall reinpassen würde. Soweit zur Anschauung.
Bestimmen wir noch kurz die Ableitung f ' (x):
[ [mm] e^{1-x^2} [/mm] ] ' = [mm] e^{1-x^2} [/mm] * (-2x)
Mit dem Mittelwertsatz habe ich nun folgendes Experiment versucht ;)
| f(x) - [mm] f(x_0) [/mm] | = | x - [mm] x_0 [/mm] | | f ' ( [mm] \lambda [/mm] ) |
Also : | [mm] (e^{1-x^2} [/mm] - [mm] e^{1-(x_0)^2}) [/mm] | = | x - [mm] x_0 [/mm] | * | [mm] e^{(1- \lambda ^2)} [/mm] | * |-2* [mm] \lambda [/mm] |
Und jetzt? ich muss ja jetzt quasi ein [mm] \lamda [/mm] finden für dass diese gleichung gilt, dann wäre mit dem Mittelwert satz die gleichmäßige Stetigkeit von f gezeigt. aber ich sehe nicht wie ich das machen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Sa 09.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Mit dem Mittelwertsatz habe ich nun folgendes Experiment
> versucht ;)
Rechnung, nicht Experiment.
> Und jetzt? ich muss ja jetzt quasi ein [mm]\lambda[/mm] finden für
> dass diese gleichung gilt, dann wäre mit dem Mittelwert
> satz die gleichmäßige Stetigkeit von f gezeigt. aber ich
> sehe nicht wie ich das machen soll.
Wieso wäre das gezeigt, wenn du so ein [m]\lambda[/m] findest? Der Satz sagt dir, es gibt so eins. Mehr brauchst du nicht. Schonmal versucht, die Ableitung nach oben abzuschätzen, also [m]|f'|\le L[/m] auf ganz [m]\IR[/m] zu zeigen? Damit ist man dann schnell fertig ...
SEcki
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Also das mit dem Abschätzen hatte ich mir auch schon überlegt, aber ich sehe nicht was mir das bringt. Ich erhalte ja dann mit
[mm]e^{1- \delta ^2} \le e < 4[/mm]
folgendes:
[mm]| (e^{1-x^2} - e^{1-(x_0)^2})| = | x - x_0| * | e^{(1- \lambda ^2)}| * |-2* \lambda| [/mm]
[mm] < | x - x_0| * | -2 \delta * 4 | = | x - x_0| * 8 \delta [/mm]
Ok, ich sehe jetzt aber trotz alle dem noch nicht was mir der Mittelwertsatz bzgl. der Stetigkeit bringt.
Ich dachte ja ursprünglich, dass ich ein [mm] \delta [/mm] finden müsste für das die obige Gleichung gilt, und kann deswegen sagen: "dann ist die funktion auch glm stetig". Dies ist ja offensichtlich doch nicht so!
Und jetzt sehe ich aber irgendwie nicht mehr den Zusammenhang zwischen dem Mittelwertsatz und der glm. Stetigkeit...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:13 So 10.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du aufschreibst, was glm Stetigkeit bedeutet, bist du eigentlich fertig, weil du direkt sehen solltest, wie du [mm] \delta(epsilon) [/mm] waehlen musst (bzw. kannst)
Gruss leduart
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> Wenn du aufschreibst, was glm Stetigkeit bedeutet,
[mm] \forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] x, [mm] x_0 \in [/mm] D : | x - [mm] x_0 [/mm] | < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] | f(x) - [mm] f(x_0) [/mm] | < [mm] \epsilon [/mm]
> bist du
> eigentlich fertig,
:)
> weil du direkt sehen solltest, wie du
> [mm]\delta(epsilon)[/mm] waehlen musst (bzw. kannst)
ja das mit dem sehen ist immer so eine sache -.-
also wenn ich jetzt z.b. [mm] \delta [/mm] = 1 wähle (warum darf ich das?), dann würde mit
[mm] |e^{1-x^2} [/mm] - [mm] e^{1-{x_0}^2}| [/mm] < |x - [mm] x_0 [/mm] | * [mm] 8*\lambda
[/mm]
folgen, wegen [mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta [/mm] = 1 :
[mm] |e^{1-x^2} [/mm] - [mm] e^{1-{x_0}^2}| [/mm] < [mm] 8*\lambda [/mm]
und dann definiere ich mein [mm] \epsilon [/mm] = 8 [mm] \lambda [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 So 10.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da steht ja nicht die def der glm stetigkeit. Da kommt doch irgendwie so ein [mm] \epsilon [/mm] vor, von dem bei dir nichts zu sehen ist. also schreib die Def. wirklich auf. zu jedem.... gibt es ...
usw. dann such das "gibt es"
Gruss leduart
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