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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 Sa 08.11.2014 | | Autor: | kolja21 |
| Aufgabe | Für Zahlen [mm] l,n\in \IN [/mm] seie [mm] l\oplus_{m}n [/mm] := [mm] Rest_{m}(l+n)
[/mm]
Zeigen Sie:
Für alle [mm] m\in \IN [/mm] \ {0,1} ist das Paar [mm] ({0,1,...,m-1},\oplus_{m}) [/mm] eine abelsche Gruppe |
Ich habe gesagt bekommen, dass, wenn man eine abelsche Gruppe nachweisen soll, muss man alle Gruppen Axiome auf dem Weg dahin beweisen. Also Abgeschlossenheit, Assoziativität, Neutrales-, Inverses Element und zum Schluss Kommutativität.
Meine erste Frage ist: wie beweist man Axiome? z.B. Abgeschlossenheit: [mm] a,b\in [/mm] G ?
Meine zweite Frage ist: bauen Axiome aufeinander auf? Sodass, wenn es heißt "Sie dürfen als bereits bewiesen voraussetzen, dass die Verknüpfung [mm] \oplus_{m} [/mm] assoziativ ist", dass man das erste Axiom auch nicht mehr beweisen muss?
Letzte Frage: Mit [mm] l,n\in \IN [/mm] und [mm] \oplus_{m} [/mm] als Operator wird es kein inverses Element geben, weswegen es keine Gruppe ist, und deswegen auch keine abelsche Gruppe. Oder?
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Hallo,
> Für Zahlen [mm]l,n\in \IN[/mm] seie [mm]l\oplus_{m}n[/mm] := [mm]Rest_{m}(l+n)[/mm]
> Zeigen Sie:
> Für alle [mm]m\in \IN[/mm] \ {0,1} ist das Paar
> [mm]({0,1,...,m-1},\oplus_{m})[/mm] eine abelsche Gruppe
> Ich habe gesagt bekommen, dass, wenn man eine abelsche
> Gruppe nachweisen soll, muss man alle Gruppen Axiome auf
> dem Weg dahin beweisen. Also Abgeschlossenheit,
> Assoziativität, Neutrales-, Inverses Element und zum
> Schluss Kommutativität.
Du sollst nicht die Gruppenaxiome beweisen (Axiome kann man wie der name sagt eigentlich nicht beweisen), sondern beweisen, dass die konkret gegebene Gruppe die Axiome erfüllt; also, dass enn man die Menge und Addition die man hier hat in die Axiome einsetzt wahre Aussagen erhält.
> Meine erste Frage ist: wie beweist man Axiome? z.B.
> Abgeschlossenheit: [mm]a,b\in[/mm] G ?
Hier ist also zu zeigen: Für alle $a, b [mm] \in \{0,\ldots , m-1\}$ [/mm] ist [mm] $Rest_{m}(a+b) \in \{0,\ldots , m-1\}$. [/mm]
> Meine zweite Frage ist: bauen Axiome aufeinander auf?
Nein.
> Sodass, wenn es heißt "Sie dürfen als bereits bewiesen
> voraussetzen, dass die Verknüpfung [mm]\oplus_{m}[/mm] assoziativ
> ist", dass man das erste Axiom auch nicht mehr beweisen
> muss?
Nein. Wieso sollte das gelten?
> Letzte Frage: Mit [mm]l,n\in \IN[/mm] und [mm]\oplus_{m}[/mm] als Operator
> wird es kein inverses Element geben, weswegen es keine
> Gruppe ist, und deswegen auch keine abelsche Gruppe. Oder?
Oder. Geh doch mal ein Beispiel wie z.B. m=5 durch und suche inverse Elemente.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Sa 08.11.2014 | | Autor: | kolja21 |
hi justdroppingby,
danke für die Antwort. Kannst du mir vielleicht auch zeigen, wie man z.B. das Kommutativgesetz konkret nachweist?
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$ [mm] a\oplus_{m}b [/mm] = [mm] Rest_{m}(a+b)= Rest_{m}(b+a)= b\oplus_{m}a [/mm] $
da die Addition auf den natürlichen Zahlen kommutativ ist.
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