z bestimmen - 2 Gleichungen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \vmat{z}\le\vmat{z-i}+1 [/mm] |
Ich poste erstmal die eine, bei der ich zumindest einen Weg hätte, die 2. folgt auf dem Fuße.
Ich setze z=a+ib
[mm] \Rightarrow [/mm] z-i=a+i(b-1)
und habe:
[mm] \wurzel{a^2+b^2}\le \wurzel{a^2+b^2+1-2b}+1
[/mm]
[mm] a^2+b^2 \le a^2+b^2+1-2b [/mm] + [mm] 2\wurzel{a^2+b^2+1-2b} [/mm] + 1
0 [mm] \le 2(1-b+\wurzel{a^2+b^2+1-2b})
[/mm]
[mm] (b-1)^2 \le a^2+b^2+1-2b
[/mm]
0 [mm] \le a^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] alle komplexen Zahlen erfüllen diese Ungleichung???
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Hallo,
ich glaube, der Knackpunkt ist das zweite Quadrieren, weil dort links b-1 steht, was durchaus negativ sein kann. Hier ist also eine Fallunterscheidung nötig.
Das erste Quadrieren dürfte eigentlich kein Problem sein, weil alles positiv ist.
Darüber hinaus ist Quadrieren ja keine Äquivalenzumformung, d.h. nach dem Ausrechnen muss man auch noch die Probe machen.
[Gegenbeispiele übrigens: z.B. Zahlen mit Re(z) = 0 und Im(z)>2]
Vielleicht kommst du mit den Tipps ein bisschen weiter.
lg weightgainer
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also für b>1 ist die linke seite positiv und ich könnte die Rechnung so machen wie oben dargestellt durchführen -> Wert von a ist irrelevant.
erfüllt dein Gegenbeispiel nicht die Gleichung? ich hätte da immer durch die Addition mit 1 das gleiche raus....
was muss ich noch anpassen?
für b<1 muss ich umschreiben:
[mm] (-b-1)^2=b^2+1+2b \Rightarrow 4b\le a^2 [/mm] -> a [mm] \ge 2\wurzel{b}
[/mm]
ist hier auch nochmal eine Unterscheidung von nöten?
ansonsten hätte ich jetzt 2 Lösungen:
ist für alle Zahlen z gültig, für die gilt: b>1 oder a [mm] \ge 2\wurzel{b}...
[/mm]
hm. sieht nicht wirklich schön und richtig aus
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Stimmt, hab das "=" unter dem "<" übersehen. Damit sind die rein-imaginären Zahlen fein raus, weil links und rechts dasselbe steht.
Deine Fallunterscheidung verstehe ich nicht.
Aber du kannst es wohl drehen und wenden wie du willst - alle komplexen Zahlen erfüllen diese Ungleichung..... zumindest ist das mein Fazit, nachdem ich alle möglichen Fälle einzeln angeschaut habe. Außerdem hab ich mal bei der Ausgangsungleichung alles auf die rechte Seite geschaufelt und den Funktionsgraph zu diesem Term zeichnen lassen - und der liegt auch tatsächlich immer oberhalb der 0.
Also vielleicht doch nur Augen zu und durch, sich dessen bewusst sein, dass man das alles machen darf und am Ende geht es für alle.
lg weightgainer
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| Aufgabe | | Man bestimme alle z mit [mm] (z-1)^3=27 [/mm] in der Form a+bi |
Da bin ich "noch kürzer" gekommen als bei der anderen.
ich hätte wieder angefangen:
[mm] (z-1)^3=((a-1)+bi)^3
[/mm]
und das dann in Polarkoordinaten umgeformt:
[mm] r=\wurzel{a^2+b^2+1-2a}; [/mm] und [mm] \phi [/mm] lass ich jetzt mal als solches stehen, weil ich noch keine Aussage über a und b treffen kann.
[mm] \Rightarrow (z-1)^3=((a-1)+bi)^3 [/mm] = [mm] \wurzel{a^2+b^2+1-2a}^3*(cos3\phi+isin3\phi)=27
[/mm]
joar, und das wars dann auch mit der weisheit...
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Eine Lösung solltest du sofort sehen:
[mm] z_1 [/mm] = 4
Dann spaltest du den Linearfaktor (z-4) von [mm] (z-1)^{3} [/mm] - 27 ab, bekommst eine quadratische Gleichung, löst die mit der p-q-Formel, bekommst dann zwei nicht-reelle Lösungen, d.h. da steht was negatives unter der Wurzel und du hast direkt die RE(z) + i IM(z) Schreibweise da stehen.
Zur Kontrolle:
[mm] z_{2/3} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} \pm \wurzel{-6,75}
[/mm]
also:
[mm] z_{2/3} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} \pm [/mm] i * [mm] \bruch{\wurzel{27}}{2}
[/mm]
lg weightgainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 Mi 08.12.2010 | | Autor: | celeste16 |
habs nachvollzogen. danke :)
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